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15.在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是邊長為2的菱形,∠BAD=60°,PD⊥底面ABCD,點M、N分別是棱AB、CD的中點.
(1)證明:BN⊥平面PCD;
(2)在線段PC上是否存在點H,使得MH與平面PCD所成最大角的正切值為62,若存在,請求出H點的位置;若不存在,請說明理由.

分析 (1)連接BD,證明:BN⊥CD,PD⊥BN,即可證明BN⊥平面PCD;
(2)假設(shè)線段PC上存在一點H,連接MH,DH,MD,可得∠MHD為MH與平面PCD所成的角,在直角三角形MDH中,DM=3,當(dāng)DH最小,即DH⊥PC時,∠DHM最大,利用條件求出CH,即可得出結(jié)論.

解答 (1)證明:連接BD,
∵四邊形ABCD為菱形,∠BCD=∠BAD=60°
∴△BCD為正三角形,∵N為CD中點,所以BN⊥CD…(2分)
∵PD⊥平面ABCD,BN?平面ABCD,∴PD⊥BN,….(4分)
又PD?平面PCD,CD?平面PCD,CD∩PD=D,∴BN⊥平面PCD…6 分
(2)解:假設(shè)線段PC上存在一點H,連接MH,DH,MD,
MBDN為平行四邊形,∴MD∥BN,
由(1)BN⊥平面PCD∴MD⊥平面PCD,∴∠MHD為MH與平面PCD所成的角…(9分)
在直角三角形MDH中,DM=3,當(dāng)DH最小,即DH⊥PC時,∠DHM最大,
tanDHM=DMDH=3DH=62,
DH=2
在Rt△DHC中DH=2CD=2,∴CH=2…(11分)
∴線段PC上存在點H,當(dāng)CH=2時,使MH與平面PCD所成最大角的正切值為62…(12分)

點評 本題考查線面垂直的判定,考查線面角,考查學(xué)生分析解決問題的能力,屬于中檔題.

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