Question

4．已知：tan（α+$\frac{π}{4}$）=-$\frac{2}{3}$，（$\frac{π}{2}$＜α＜π）．
（1）求tanα的值；
（2）求$\frac{sin2α-2co{s}^{2}α}{sin（α-\frac{π}{4}）}$的值．

Answer 1

分析 （1）直接利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、兩角和的正切公式求得tanα的值．
（2）利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、及三角函數(shù)在各個(gè)象限中的符號(hào)，求得cosα的值，再利用二倍角公式、兩角差的正弦公式求得要求式子的值．

解答 解：（1）∵tan（α+$\frac{π}{4}$）=$\frac{tanα+1}{1-tanα}$=-$\frac{2}{3}$，（$\frac{π}{2}$＜α＜π），∴tanα=-5．
（2）∵tanα=-5=$\frac{sinα}{cosα}$，∴α為鈍角，∴sinα＞0，cosα＜0，
 再結(jié)合sin²α+cos²α=1，可得cosα=-$\frac{\sqrt{26}}{26}$，
∴$\frac{sin2α-2co{s}^{2}α}{sin（α-\frac{π}{4}）}$=$\frac{2sinαcosα-{2cos}^{2}α}{sinα•\frac{\sqrt{2}}{2}-cosα•\frac{\sqrt{2}}{2}}$=2$\sqrt{2}$cosα=-$\frac{2\sqrt{13}}{13}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、兩角和的正切公式，以及三角函數(shù)在各個(gè)象限中的符號(hào)，屬于基礎(chǔ)題．