Question

3．若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，側(cè)棱長(zhǎng)分別為1，$\sqrt{3}$，2，且它的四個(gè)頂點(diǎn)在同一球面上，則此球的體積為（　�。�

• A． $\frac{{2\sqrt{2}}}{3}π$
• B． $3\sqrt{3}π$
• C． $\frac{{8\sqrt{2}}}{3}π$
• D． 8π

Answer 1

分析 根據(jù)三棱錐三條側(cè)棱兩兩垂直，三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，構(gòu)造長(zhǎng)方體，根據(jù)長(zhǎng)方體的體對(duì)角線和球直徑之間的關(guān)系即可求出球的半徑，即可求出球的體積．

解答 解：三棱錐A-BCD中，以A為頂點(diǎn)的三條側(cè)棱兩兩垂直，且其長(zhǎng)分別為1，$\sqrt{3}$，2．
∵三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)同在一個(gè)球面上，三棱錐是長(zhǎng)方體的一個(gè)角，則構(gòu)造長(zhǎng)方體，
∴三棱錐的外接球與長(zhǎng)方體的外接球相同，
即長(zhǎng)方體的體對(duì)角線就是球的直徑，
∴長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)$\sqrt{1+3+4}$=2$\sqrt{2}$．
即球的直徑為2r=2$\sqrt{2}$，解得半徑為r=$\sqrt{2}$，
∴外接球的體積為：$\frac{4}{3}$π×（$\sqrt{2}$）³=$\frac{8\sqrt{2}}{3}$π
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三棱錐的外接球的體積，構(gòu)造長(zhǎng)方體是解決本題的關(guān)鍵，要求熟練掌握球的體積公式．