Question

14．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，點M、N分別為線段PB，PC 上的點，MN⊥PB．
（Ⅰ）求證：BC⊥平面PAB；
（Ⅱ）求證：當點M不與點P，B重合時，M，N，D，A四個點在同一個平面內(nèi)；
（Ⅲ）當PA=AB=2，二面角C-AN-D的大小為$\frac{π}{3}$時，求PN的長．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導出AB⊥BC，PA⊥BC，由此能證明BC⊥平面PAB．
（Ⅱ）推導出BC⊥PB，MN∥BC，MN∥AD，由此能證明M，N，D，A四個點在同一個平面內(nèi)．
（Ⅲ）以A為原點，AB，AD，AP所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系A-xyz，利用向量法能求出PN的長．

解答 證明：（Ⅰ）在正方形ABCD中，AB⊥BC，…（1分）
因為PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，所以PA⊥BC．…（2分）
因為AB∩PA=A，且AB，PA?平面PAB，
所以BC⊥平面PAB…（4分）
（Ⅱ）因為BC⊥平面PAB，PB?平面PAB，
所以BC⊥PB…（5分）
在△PBC中，BC⊥PB，MN⊥PB，
所以MN∥BC．…（6分）
在正方形ABCD中，AD∥BC，所以MN∥AD，…（7分）
所以 AM，AD可以確定一個平面，記為α
所以M，N，D，A四個點在同一個平面α內(nèi)          …（8分）
解：（Ⅲ）因為PA⊥平面ABCD，AB，AD?平面ABCD，
所以PA⊥AB，PA⊥AD．又AB⊥AD，
如圖，以A為原點，AB，AD，AP所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系A-xyz，…（9分）
所以C（2，2，0），D（0，2，0），B（2，0，0），P（0，0，2）．
設平面DAN的一個法向量為$\overrightarrow n=（x，y，z）$，
平面CAN的一個法向量為$\overrightarrow m=（a，b，c）$，
設$\overrightarrow{PN}=λ\overrightarrow{PC}$，λ∈[0，1]，
因為$\overrightarrow{PC}=（2，2，-2）$，所以$\overrightarrow{AN}=（2λ，2λ，2-2λ）$，
又$\overrightarrow{AD}=（0，2，0）$，所以$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{AN}•\overrightarrow n=0\\ \overrightarrow{AD}•\overrightarrow n=0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}2λx+2λy+（2-2λ）z=0\\ 2y=0\end{array}\right.$，
取z=1，得到$\overrightarrow n=（\frac{λ-1}{λ}，0，1）$，…（9分）
因為$\overrightarrow{AP}=（0，0，2）$，$\overrightarrow{AC}=（2，2，0）$，
所以$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{AP}•\overrightarrow m=0\\ \overrightarrow{AC}•\overrightarrow m=0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}2c=0\\ 2a+2b=0\end{array}\right.$，
取a=1得，到$\overrightarrow m=（1，-1，0）$，…（10分）
因為二面C-AN-D大小為$\frac{π}{3}$，所以$|cos＜\overrightarrow m，\overrightarrow n＞|=cos\frac{π}{3}=\frac{1}{2}$，
所以$|cos＜\overrightarrow m，\overrightarrow n＞|=|{\frac{\overrightarrow m•\overrightarrow n}{{|\overrightarrow m||\overrightarrow{n|}}}}|=|{\frac{{\frac{λ-1}{λ}}}{{\sqrt{2}\sqrt{{{（\frac{λ-1}{λ}）}^2}+1}}}}|=\frac{1}{2}$
解得$λ=\frac{1}{2}$，所以$PN=\sqrt{3}$…（12分）

點評 本題考查線面垂直的證明，考查四點共面的證明，考查線段長的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．