Question

6．已知?jiǎng)狱c(diǎn)P到點(diǎn)F（0，2）的距離與到拋物線x²=-16y的準(zhǔn)線的距離之比為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（I）求點(diǎn)p的軌跡方程E；
（Ⅱ）設(shè)斜率不為0的動(dòng)直線l與曲線E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P，且與拋物線x²=-16y的準(zhǔn)線交于點(diǎn)Q，試證明：以PQ為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)F．

Answer 1

分析 （I）利用動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)F（0，2）的距離與到拋物線x²=-16y的準(zhǔn)線的距離之比為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，建立方程，即可求點(diǎn)P的軌跡方程E；
（Ⅱ）設(shè)斜率不為0的動(dòng)直線l：y=kx+b，與曲線E聯(lián)立，求出P，Q的坐標(biāo)，證明$\overrightarrow{PF}$⊥$\overrightarrow{QF}$，即可證明以PQ為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)F．

解答 （I）解：設(shè)P（x，y），拋物線x²=-16y的準(zhǔn)線方程為y=4．
∵動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)F（0，2）的距離與到拋物線x²=-16y的準(zhǔn)線的距離之比為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴x²+（y-2）²=$\frac{1}{2}$（y-4）²，
∴$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{8}$=1；
（Ⅱ）證明：設(shè)斜率不為0的動(dòng)直線l：y=kx+b，與曲線E聯(lián)立，
可得（2+k²）x²+2kbx+b²-8=0，
∴△=4k²b²-4（2+k²）（b²-8）=0，∴b²-4k²=8，P（-$\frac{kb}{2+{k}^{2}}$，$\frac{2b}{2+{k}^{2}}$）
y=4，x=$\frac{4-b}{k}$，∴Q（$\frac{4-b}{k}$，4），
∵F（0，2），
∴$\overrightarrow{PF}$•$\overrightarrow{QF}$=（$\frac{kb}{2+{k}^{2}}$，2-$\frac{2b}{2+{k}^{2}}$）•（-$\frac{4-b}{k}$，-2）=$\frac{^{2}-4b}{2+{k}^{2}}$-4+$\frac{4b}{2+{k}^{2}}$=0
∴$\overrightarrow{PF}$⊥$\overrightarrow{QF}$，
∴以PQ為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)F．

點(diǎn)評(píng) 本題考查軌跡方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．