Question

11．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，其中a_n≠0，a₁=1，且a₁，S_n，a_n+1（n∈N^*）成等差數(shù)列，則a₂₀₁₆=3²⁰¹⁴．

Answer 1

分析 通過a₁，S_n，a_n+1（n∈N^*）成等差數(shù)列及a₁=1可知2S_n=a₁+a_n+1=1+a_n+1，并與當(dāng)n≥2時(shí)2S_n-1=1+a_n作差，整理可知數(shù)列{a_n}從第二項(xiàng)起是首項(xiàng)為1、公比為3的等比數(shù)列，進(jìn)而計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：∵a₁，S_n，a_n+1（n∈N^*）成等差數(shù)列，且a₁=1，
∴2S_n=a₁+a_n+1=1+a_n+1，
當(dāng)n≥2時(shí)，2S_n-1=1+a_n，
兩式相減得：2a_n=a_n+1-a_n，
即a_n+1=3a_n（n≥2），
又∵a₂=2S₁-1=1，
∴數(shù)列{a_n}從第二項(xiàng)起是首項(xiàng)為1、公比為3的等比數(shù)列，
∴a₂₀₁₆=3²⁰¹⁴，
故答案為：3²⁰¹⁴．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．