Question

15．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的焦點(diǎn)分別為F₁（-$\sqrt{3}$，0），F(xiàn)₂（$\sqrt{3}$，0），P為橢圓C上任一點(diǎn)，$\overrightarrow{P{F}_{1}}•\overrightarrow{P{F}_{2}}$的最大值為1，求橢圓C的方程．

Answer 1

分析 由題意可得c，設(shè)出P（m，n），求得向量PF₁，PF₂的坐標(biāo)，由數(shù)量積的坐標(biāo)表示，化簡(jiǎn)結(jié)合兩點(diǎn)的距離公式，即可得到最大值，進(jìn)而求得a=2，b=1，即可得到橢圓方程．

解答 解：由題意可得c=$\sqrt{3}$，即a²-b²=3，
設(shè)P（m，n），則$\overrightarrow{P{F}_{1}}$=（-$\sqrt{3}$-m，-n），$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（$\sqrt{3}$-m，-n），
$\overrightarrow{P{F}_{1}}•\overrightarrow{P{F}_{2}}$=m²+n²-3，
由P在橢圓上，可得P為橢圓的長(zhǎng)軸的端點(diǎn)時(shí)，取得最大值．
即有a²-3=1，解得a=2，b=1，
則橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，同時(shí)考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示和m²+n²的幾何意義，屬于中檔題．