Question

【題目】如圖，已知PA⊥平面ABCD，且四邊形ABCD為矩形，M、N分別是AB、PC的中點(diǎn)．

（1）求證：MN⊥CD；
（2）若∠PDA＝45°，求證：MN⊥平面PCD.

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖所示，取PD的中點(diǎn)E，連接AE、NE，

∵N為PC的中點(diǎn)，E為PD的中點(diǎn)，∴NE∥CD且NE＝ CD，而AM∥CD
且AM＝ AB＝ CD，∴NE∥AM且NE＝AM，∴四邊形AMNE為平行四邊形，
∴MN∥AE.又PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，又∵ABCD為矩形，∴AD⊥CD，又AD∩PA＝A，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥AE，又AE∥MN，∴MN⊥CD
（2）證明：由(1）可知CD⊥AE，MN∥AE.又∠PDA＝45°，∴△PAD為等腰直角三角形，又E為PD的中點(diǎn)，∴AE⊥PD，∴AE⊥平面PCD. 又AE∥MN，∴MN⊥平面PCD
【解析】（1）通過證明CD⊥平面PAD即線面垂直來證明MN⊥CD即線線垂直。
（2）當(dāng)∠PDA＝45°時(shí)，△PAD為等腰直角三角形，在平面內(nèi)找到兩條直線都與MN垂直即可。
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用直線與平面垂直的判定和直線與平面垂直的性質(zhì)，掌握一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點(diǎn)：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想；垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行即可以解答此題．