【題目】已知橢圓E: =1的離心率為 ,點F1 , F2是橢圓E的左、右焦點,過F1的直線與橢圓E交于A,B兩點,且△F2AB的周長為8.
(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)動點M在橢圓E上,動點N在直線l:y=2 上,若OM⊥ON,探究原點O到直線MN的距離是否為定值,并說明理由.

【答案】
(1)解:橢圓E: =1的離心率為 ,且△F2AB的周長為8,

所以

解得a=2,b= ,

所以橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為 + =1


(2)解:①若直線ON的斜率不存在,

則|OM|=2 ,|ON|=2,|MN|=4,

所以原點O到直線MN的距離為d= = ;

②若直線ON的斜率存在,

設(shè)直線OM方程為y=kx,

代入 + =1,解得x2= ,

y2= ;

則直線ON的方程為y=﹣ x,代入y=2 ,

解得N(﹣2 k,2 );

所以|MN|2=|OM|2+|ON|2=( + )+(12k2+12)= ;

設(shè)原點O到直線MN的距離為d,

則|MN|d=|OM||ON|,

得d2= =3,

所以d= ;

綜上,原點O到直線MN的距離為定值


【解析】(1)根據(jù)題意列出方程組求出a、b的值,寫出橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)①直線ON的斜率不存在,計算原點O到直線MN的距離d的值;②直線ON的斜率存在,設(shè)出直線OM、ON的方程,求出點M、N,計算|MN|2、|OM|2、|ON|2,求出原點O到直線MN的距離d,即可得出結(jié)論.

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C.
D.

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A.45
B.50
C.55
D.60

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