Question

已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)锳，若其值域也為A，則稱區(qū)間A為f（x）的保值區(qū)間．若g（x）=x+m-lnx的保值區(qū)間是[e，+∞），則m的值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的值域,函數(shù)的定義域及其求法

專題：新定義,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：本題可先對(duì)函數(shù)g（x）求導(dǎo)數(shù)，確定其單調(diào)區(qū)間，然后在區(qū)間[e，+∞）上研究它的值域，根據(jù)題中的新定義，又得到函數(shù)的值域，通過(guò)值域的比較，得到e滿足的等式，求出e的值，得到本題結(jié)論．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）的定義域?yàn)锳，若其值域也為A，則稱區(qū)間A為f（x）的保值區(qū)間．
又∵g（x）=x+m-lnx的保值區(qū)間是[e，+∞），
∴g（x）=x+m-lnx定義域?yàn)閇e，+∞），值域也為[e，+∞）．
∵g′（x）=1-

1

x

=

x-1

x

，（x＞0）
∴函數(shù)g（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增．
∴g（x）=x+m-lnx在[e，+∞）單調(diào)遞增．
∴g（x）≥g（e）．
∴g（e）=e．
∴e+m-lne=e，
∴e=1．
故答案為：1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)定義域、函數(shù)的值域以及函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，本題思維量不大，屬于基礎(chǔ)題．