Question

20．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=a（a∈N^*）．a(chǎn)₁+a₂+…+a_n-pa_n+1=0（p≠0，p≠-1）n∈N^*）．
（1）數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）對(duì)每一個(gè)正整數(shù)k，若將a_k+1，a_k+2，a_k+3按從小到大的順序排列后，此三項(xiàng)均能構(gòu)成等差數(shù)列，且記公差為d_k．求p的值及相應(yīng)的數(shù)列{d_k}．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系利用作差法結(jié)合等比數(shù)列的定義即可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求出a_k+1，a_k+2，a_k+3的表達(dá)式，結(jié)合等差數(shù)列的定義建立方程關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）因?yàn)閍₁+a₂+…+a_n-pa_n+1=0，所以n≥2時(shí)，a₁+a₂+…+a_n-1-pa_n=0，兩式相減，
得$\frac{{{a_{n+1}}}}{a_n}=\frac{p+1}{p}（n≥2）$，故數(shù)列{a_n}從第二項(xiàng)起是公比是$\frac{p+1}{p}$的等比數(shù)列．
又當(dāng)n=1時(shí)，a₁-pa₂=0，解得${a_2}=\frac{a}{p}$，從而${a_n}=\left\{\begin{array}{l}a\;（n=1）\\ \frac{a}{p}{（\frac{p+1}{p}）^{n-2}}\;（n≥2）\end{array}\right.$．
（2）由（1）得${a_{k+1}}=\frac{a}{p}{（\frac{p+1}{p}）^{k-1}}$，${a_{k+2}}=\frac{a}{p}{（\frac{p+1}{p}）^k}$，${a_{k+3}}=\frac{a}{p}{（\frac{p+1}{p}）^{k+1}}$．
若a_k+1為等差中項(xiàng)，則2a_k+1=a_k+2+a_k+3，即$\frac{p+1}{p}=1$或$\frac{p+1}{p}=-2$，
解得$p=-\frac{1}{3}$，此時(shí)${a_{k+1}}=-3a{（-2）^{k-1}}$，${a_{k+2}}=-3a{（-2）^k}$，
注意到（-2）^k-1與（-2）^k異號(hào)，所以${d_k}=|{a_{k+1}}-{a_{k+2}}|=9a•{2^{k-1}}$；
若a_k+2為等差中項(xiàng)，則2a_k+2=a_k+1+a_k+3，即$\frac{p+1}{p}=1$，此時(shí)無(wú)解；
若a_k+3為等差中項(xiàng)，則2a_k+3=a_k+1+a_k+2，即$\frac{p+1}{p}=1$或$\frac{p+1}{p}=-\frac{1}{2}$，
解得$p=-\frac{2}{3}$，此時(shí)${a_{k+1}}=-\frac{3a}{2}{（-\frac{1}{2}）^{k-1}}$，${a_{k+3}}=-\frac{3a}{2}{（-\frac{1}{2}）^{k+1}}$，
注意到${（-\frac{1}{2}）^{k-1}}$與${（-\frac{1}{2}）^{k+1}}$同號(hào)，所以${d_k}=|{a_{k+1}}-{a_{k+3}}|=\frac{9a}{8}•{（\frac{1}{2}）^{k-1}}$．
綜上所述，$p=-\frac{1}{3}$，${d_k}=9a•{2^{k-1}}$或$p=-\frac{2}{3}$，${d_k}=\frac{9a}{8}•{（\frac{1}{2}）^{k-1}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求解，利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生的運(yùn)算能力．