【題目】如圖，橢圓的左、右焦點分別為， 軸，直線交軸于點，，為橢圓上的動點，的面積最大值為1.

（1）求橢圓的方程；

（2）如圖，過點作兩條直線與橢圓分別交于，且使軸，問四邊形的兩條對角線的交點是否為定點？若是，求出該定點的坐標；若不是，請說明理由.

【答案】（1）（2）定點坐標為.

【解析】分析：（Ⅰ）意味著通徑的一半，最大面積為，所以，故橢圓的方程為.

(Ⅱ)根據(jù)對稱性，猜測定點必定在軸上，故可設(shè)，，則，，再設(shè)，根據(jù)三點共線可以得到，聯(lián)立直線和橢圓的標準方程后消去，利用韋達定理可以得到，從而過定點，同理直線也過即兩條直線交于定點.

詳解：（Ⅰ）設(shè)，由題意可得，即.

∵是的中位線，且，

∴，即，整理得.①

又由題知，當在橢圓的上頂點時，的面積最大，

∴，整理得，即，②

聯(lián)立①②可得，變形得，解得，進而.

∴橢圓的方程式為.

(Ⅱ)設(shè)，，則由對稱性可知，.

設(shè)直線與軸交于點，直線的方程為，

聯(lián)立，消去，得，

∴，，

由三點共線，即，

將，代入整理得，

即，從而，化簡得，解得，于是直線的方程為， 故直線過定點.同理可得過定點，

∴直線與的交點是定點，定點坐標為.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)正實數(shù)均不為且，則關(guān)于二次函數(shù)，下列說法中不正確的是（ ）

A.三點中有兩個點在第一象限

B.函數(shù)有兩個不相等的零點

C.

D.若,則

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且對任意的恒成立，且當時，.

（1）求證：是以2為周期的函數(shù)（不需要證明2是的最小正周期）；

（2）對于整數(shù)，當時，求函數(shù)的解析式；

（3）對于整數(shù)，記在有兩個不等的實數(shù)根}，求集合.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】從某小區(qū)抽取50戶居民進行月用電量調(diào)查，發(fā)現(xiàn)其用電量都在50到350度之間，將用電量的數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖如下.

（1）求頻率分布直方圖中的值并估計這50戶用戶的平均用電量；

（2）若將用電量在區(qū)間內(nèi)的用戶記為類用戶，標記為低用電家庭，用電量在區(qū)間內(nèi)的用戶記為類用戶，標記為高用電家庭，現(xiàn)對這兩類用戶進行問卷調(diào)查，讓其對供電服務(wù)進行打分，打分情況見莖葉圖：

①從類用戶中任意抽取3戶，求恰好有2戶打分超過85分的概率；

②若打分超過85分視為滿意，沒超過85分視為不滿意，請?zhí)顚懴旅媪新?lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有的把握認為“滿意度與用電量高低有關(guān)”？

滿意

不滿意

合計

類用戶

類用戶

合計

附表及公式：

<>0.050

0.010

0.001

3.841

6.635

10.828

， .

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】四名同學(xué)各擲骰子5次，分別記錄每次骰子出現(xiàn)的點數(shù)，根據(jù)四名同學(xué)的統(tǒng)計結(jié)果，可以判斷出一定沒有出現(xiàn)點數(shù)6的是（ ）

A.平均數(shù)為3.中位數(shù)為2B.中位數(shù)為3.眾數(shù)為2

C.平均數(shù)為2.方差為2.4D.中位數(shù)為3.方差為2.8

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知極坐標系的極點與直角坐標系的原點重合，極軸與軸的非負半軸重合．若曲線的極坐標方程為，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．

（Ⅰ）求曲線的直角坐標方程與直線的普通方程；

（Ⅱ）設(shè)點，直線與曲線交于兩點，求的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】一名學(xué)生通過計步儀器，記錄了自己100天每天走的步數(shù)，數(shù)據(jù)如下：

5678 13039 8666 9521 8722 10575 2107 4165

17073 11205 5467 11736 9986 8592 6542 12386

13115 5705 8358 13234 20142 9769 10426 12802

16722 8587 9266 8635 2455 4524 8260 13165

9812 9533 2377 5132 8212 7968 9859 3961

5484 11344 8722 12944 8597 12594 15101 4751

11130 11286 8897 7192 7313 8790 7699 10892

9583 9207 16358 10182 3607 1789 9417 4566

12347 3228 7606 8689 8755 15609 8767 9226

5622 11094 8865 11246 17417 7995 7317 6878

4270 11051 5705 5442 10078 9107 8354 6483

16808 1509 1301 10843 13864 12691 8419 14267

9809 9858 8922 12682

（1）畫出這組數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖，并分析數(shù)據(jù)的分布特點；

（2）計算這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)和標準差，并根據(jù)這些數(shù)值描述這名學(xué)生的運動情況.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（1）判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并用定義證明；

（2）函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是否有零點？若有零點，用“二分法”求零點的近似值（精確度0.3）；若沒有零點，說明理由．

（參考數(shù)據(jù)：，，，，，）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在直三棱柱中，，，點為棱的中點，點為線段上一動點.

（Ⅰ）求證：當點為線段的中點時，平面；

（Ⅱ）設(shè)，試問：是否存在實數(shù)，使得平面與平面所成銳二面角的余弦值為？若存在，求出這個實數(shù)；若不存在，請說明理由.

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