Question

7．已知函數(shù)$f（x）=\frac{lnx+a}{x}（a∈R）$．
（1）求f（x）的極值；
（2）求證：$\frac{ln2}{6}+\frac{ln2•ln3}{24}+…+\frac{ln2•ln3…lnn}{（n+1）!}＜\frac{n-1}{2n+2}，n≥2$且n∈N^*．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的定區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可；
（2）根據(jù)（1）取a=1，得到lnx≤x-1，令x=n，得到$\frac{lnn}{n+1}＜\frac{n-1}{n+1}$，從而證出結(jié)論．

解答 解：（1）f（x）的定義域為（0，+∞），
$f'（x）=\frac{1-（lnx+a）}{x^2}$，令f'（x）=0，解得：x=e^1-a，
當(dāng)f'（x）＞0時，x＜e^1-a，f（x）在（0，e^1-a）是增函數(shù)，
當(dāng)f'（x）＜0時，x＞e^1-a，f（x）在（e^1-a，+∞）是減函數(shù)，
∴f（x）在x=e^1-a處取得極大值，f（x）_極大值=f（e^1-a）=e^a-1，無極小值．
（2）證明：由（1）$f（x）=\frac{lnx+a}{x}$≤e^a-1，
取a=1，∴l(xiāng)nx≤x-1，當(dāng)x=1時取等號，
令x=n，∵n≥2，故$\frac{lnn}{n+1}＜\frac{n-1}{n+1}$
∴$\frac{ln2•ln3…lnn}{（n+1）!}=\frac{1}{2}•\frac{ln2}{3}•\frac{ln3}{4}…\frac{lnn}{n+1}＜\frac{1}{2}•\frac{1}{3}•\frac{2}{4}•\frac{3}{5}•\frac{4}{6}…\frac{n-2}{n}•\frac{n-1}{n+1}$=$\frac{1}{n（n+1）}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$
故$\frac{ln2}{6}＜\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$；$\frac{ln2•ln3}{24}＜\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$；…；
$\frac{ln2•ln3…lnn}{（n+1）!}$＜$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$
∴$\frac{ln2}{6}+\frac{ln2•ln3}{24}+…+\frac{ln2•ln3…lnn}{（n+1）!}＜\frac{n-1}{2n+2}，n≥2$．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，不等式的證明，轉(zhuǎn)化思想，是一道綜合題．