Question

2．過(guò)四面體ABCD的頂點(diǎn)D作半徑為1的球，該球與四面體ABCD的外接球相切于點(diǎn)D，且與平面ABC相切，若AD=2$\sqrt{3}$，∠BAD=∠CAD=45°，∠BAC=60°，則四面體ABCD的外接球的半徑為3．

Answer 1

分析 過(guò)D做平面ABC的垂線，垂足為H，作DE⊥AB，垂足為E，DF⊥AC，垂足為F，則HE⊥AB，HF⊥AC，求出DH，可得DH為半徑為1的球的直徑，從而四面體ABCD的外接球的球心O在DH的延長(zhǎng)線上，利用勾股定理建立方程，即可求出四面體ABCD的外接球的半徑．

解答 解：過(guò)D做平面ABC的垂線，垂足為H，作DE⊥AB，垂足為E，DF⊥AC，垂足為F，則HE⊥AB，HF⊥AC，
∠BAD=∠CAD=45°，∠BAC=60°，可得∠HAE=30°，AH=$\frac{AE}{cos30°}$=2$\sqrt{2}$，DH=$\sqrt{A{D}^{2}-A{H}^{2}}$=2，
∴DH為半徑為1的球的直徑，從而四面體ABCD的外接球的球心O在DH的延長(zhǎng)線上，
設(shè)四面體ABCD的外接球的半徑為r，則r²=（r-2）²+（2$\sqrt{2}$）²，∴r=3．
故答案為：3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查四面體ABCD的外接球的半徑，考查學(xué)生的計(jì)算能力，確定四面體ABCD的外接球的球心O在DH的延長(zhǎng)線上是關(guān)鍵．