已知正三棱柱ABC—A1B1C1的每條棱長均為a,M為棱A1C1上的動點.

(1)當(dāng)M在何處時,BC1∥平面MB1A,并證明之;

(2)若BC1∥平面MB1A,求平面MB1A與平面ABC所成的銳二面角的大小(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示);

(3)求三棱錐B—AB1M體積的最大值.

解:(1)當(dāng)M是A1C1中點時,BC1∥平面MB1A.

∵M(jìn)為A1C1中點,延長AM、CC1,設(shè)AM與CC1延長線交于點N,則NC1=C1C=a.

連結(jié)NB1并延長與CB延長線交于點G,

則BG=CB,NB1=B1G.

在△CGN中,BC1為中位線,∴BC1∥GN.

又GN平面MAB1,BC1?平面MAB1,

∴BC1∥平面MAB1.

(2)∵BC1∥平面MB1A,

∴M為A1C1中點.

在△AGC中,BC=BA=BG,

∴∠GAC=90°,即AC⊥AG.

又AG⊥AA1,AA1∩AC=A,

∴AG⊥平面A1ACC1.

∴AG⊥AM.

∴∠MAC為平面MB1A與平面ABC所成二面角的平面角.

∴tan∠MAC==2.

∴所求銳二面角大小為arctan2.

(3)設(shè)動點M到平面A1ABB1的距離為hm,

===×a2hma3.

當(dāng)點M與點C1重合時,三棱錐B—AB1M的體積最大,最大值為a3.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長為1,高為h(h>2),動點M在側(cè)棱BB1上移動.設(shè)AM與側(cè)面BB1C1C所成的角為θ.
(1)當(dāng)θ∈[
π
6
π
4
]
時,求點M到平面ABC的距離的取值范圍;
(2)當(dāng)θ=
π
6
時,求向量
AM
BC
夾角的大。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知正三棱柱ABC-A1B1C1的每條棱長均為a,M為棱A1C1上的動點.
(1)當(dāng)M在何處時,BC1∥平面MB1A,并證明之;
(2)在(1)下,求平面MB1A與平面ABC所成的二面角的大小;
(3)求B-AB1M體積的最大值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知正三棱柱ABC-A1B1C1,底面邊長為8,對角線B1C=10,
(1)若D為AC的中點,求證:AB1∥平面C1BD;
(2)若CD=2AD,BP=λPB1,當(dāng)λ為何值時,AP∥平面C1BD;
(3)在(1)的條件下,求直線AB1到平面C1BD的距離.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,已知正三棱柱ABC-A1B1C1中,D是BC的中點,AA1=AB=1.
(1)求證:平面AB1D⊥平面B1BCC1;
(2)求證:A1C∥平面AB1D;
(3)求二面角B-AB1-D的正切值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2009•湖北模擬)如圖,已知正三棱柱ABC-A1B1C1各棱長都為a,P為棱A1B上的動點.
(Ⅰ)試確定A1P:PB的值,使得PC⊥AB;
(Ⅱ)若A1P:PB=2:3,求二面角P-AC-B的大;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,求點C1到面PAC的距離.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案