Question

20．設(shè)函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$x²-9lnx在區(qū)間[a-$\frac{1}{2}$，a+$\frac{1}{2}$]上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{2}$]．

Answer 1

分析 首先求出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，然后結(jié)合數(shù)軸分析求出m的范圍即可．

解答 解：∵f（x）=$\frac{1}{2}$x²-9lnx，
∴函數(shù)f（x）的定義域是（0，+∞），
f′（x）=x-$\frac{9}{x}$，
∵x＞0，∴由f′（x）=x-$\frac{9}{x}$＜0，得0＜x＜3．
∵函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$x2-9lnx在區(qū)間[a-$\frac{1}{2}$，a+$\frac{1}{2}$]上單調(diào)遞減，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-\frac{1}{2}＞0}\\{a+\frac{1}{2}≤3}\end{array}\right.$，解得$\frac{1}{2}$＜a≤$\frac{5}{2}$．
故答案為：（$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{2}$]．

點(diǎn)評(píng) 此題是個(gè)中檔題．考查學(xué)生掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，以及分析解決問題的能力．