Question

11．已知函數(shù)f（x）=x²+$\frac{2{a}^{3}}{x}$+1．
（Ⅰ）若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與直線y=1平行，求a的值；
（Ⅱ）若0＜a＜2，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得函數(shù)的導數(shù)，由兩直線平行的條件：斜率相等，可得切線的斜率，解方程可得a的值；
（Ⅱ）求得f（x）的導數(shù)，討論a的范圍，當0＜a≤1時，當1＜a＜2時，求得單調(diào)區(qū)間，即可得到所求最小值．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=x²+$\frac{2{a}^{3}}{x}$+1的導數(shù)為f′（x）=2x-$\frac{2{a}^{3}}{{x}^{2}}$，
在點（1，f（1））處的切線與直線y=1平行，
可得2-2a³=0，解得a=1；
（Ⅱ）f（x）的導數(shù)為f′（x）=2x-$\frac{2{a}^{3}}{{x}^{2}}$=$\frac{2（{x}^{3}-{a}^{3}）}{{x}^{2}}$，
由x∈[1，2]，當0＜a≤1時，f′（x）≥0，f（x）在[1，2]遞增，
可得f（x）的最小值為f（1）=2+2a³；
當1＜a＜2時，f（x）在[1，a）遞減，在（a，2]遞增，
即有f（x）在x=a處取得極小值，且為最小值1+a²+2a²=3a²+1．
綜上可得，當0＜a≤1時，f（x）的最小值為2+2a³；
當1＜a＜2時，f（x）的最小值為3a²+1．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間，極值和最值，注意運用分類討論的思想方法，考查運算能力，屬于中檔題．