Question

4．已知函數(shù)f（x）=e^x-ex-1，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．函數(shù)g（x）=（2-e）x．
（1）求函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)$F（x）=\left\{\begin{array}{l}f（x），x≤m\\ g（x），x＞m\end{array}\right.$的值域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論m的范圍得到函數(shù)的值域，從而確定m的具體范圍即可．

解答 解：（1）f（x）=e^x-ex-1，
h（x）=f（x）-g（x）=e^x-2x-1，h′（x）=e^x-2，
由h′（x）＞0，得x＞ln2，由h′（x）＜0，解得：x＜ln2，
故函數(shù)h（x）在（ln2，+∞）遞增，在（-∞，ln2）遞減；
（2）f（x）=e^x-e，
x＜1時(shí)，f′（x）＜0，f（x）在（-∞，1）遞減，
x＞1時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在（1，+∞）遞增，
m≤1時(shí)，f（x）在（-∞，m]遞減，值域是[e^m-em-1，+∞），
g（x）=（2-e）x在（m，+∞）遞減，值域是（-∞，（2-e）m），
∵F（x）的值域是R，故e^m-em-1≤（2-e）m，
即e^m-2m-1≤0，（*），
由（1）m＜0時(shí)，h（x）=e^m-2m-1＞h（0）=0，故（*）不成立，
∵h(yuǎn)（m）在（0，ln2）遞減，在（ln2，1）遞增，且h（0）=0，h（1）=e-3＜0，
∴0≤m≤1時(shí)，h（m）≤0恒成立，故0≤m≤1；
m＞1時(shí)，f（x）在（-∞，1）遞減，在（1，m]遞增，
故函數(shù)f（x）=e^x-ex-1在（-∞，m]上的值域是[f（1），+∞），即[-1，+∞），
g（x）=（2-e）x在（m，+∞）上遞減，值域是（-∞，（2-e）m），
∵F（x）的值域是R，∴-1≤（2-e）m，即1＜m≤$\frac{1}{e-2}$，
綜上，m的范圍是[0，$\frac{1}{e-2}$]；

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想、考查不等式的證明，是一道綜合題．