Question

14．設(shè)矩陣A=$（\begin{array}{l}{1}&{2}\\{2}&{3}\end{array}）$
①求矩陣A的逆矩陣A^-1
②若曲線C在矩陣A^-1D的作用下變?yōu)榍�線C：′x²-y²=1，求曲線C的方程．

Answer 1

分析 ①求出矩陣A=$（\begin{array}{l}{1}&{2}\\{2}&{3}\end{array}）$的行列式為$|\begin{array}{l}{1}&{2}\\{2}&{3}\end{array}|$=-1，即可求出矩陣A的逆矩陣A^-1
②設(shè)曲線C上任一點M（x，y）在矩陣A對應(yīng)的變換作用后變?yōu)榍�線C′上一點P（x′，y′），由矩陣變換的特點，即可得到它們的關(guān)系式，再代入已知曲線方程即可．

解答 解：①矩陣A=$（\begin{array}{l}{1}&{2}\\{2}&{3}\end{array}）$的行列式為$|\begin{array}{l}{1}&{2}\\{2}&{3}\end{array}|$=-1，
所以A^-1=$[\begin{array}{l}{-3}&{2}\\{2}&{-1}\end{array}]$；
②設(shè)曲線C上任一點P（x，y）在矩陣A^-1對應(yīng)的變換作用后變?yōu)榍�線C′上一點Q（x′，y′），
則$[\begin{array}{l}{x′}\\{y′}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{-3}&{2}\\{2}&{-1}\end{array}]$$[\begin{array}{l}{x}\\{y}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{-3x+2y}\\{2x-y}\end{array}]$，
從而$\left\{\begin{array}{l}{x′=-3x+2y}\\{y′=2x-y}\end{array}\right.$                     
因為點Q在曲線C′上，所以x′²-y′²=1，即（-3x+2y）²-（2x-y）²=1，
從而5x²-8xy+3y²=1．
所以曲線C的方程為5x²-8xy+3y²=1．

點評 本題考查矩陣的逆矩陣，以及矩陣變換下的曲線方程，屬于中檔題．