Question

將圓x²+y²=4上點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的一半，所得曲線設(shè)為E．
（1）求曲線E的方程；
（2）若曲線E與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A（a，0），B（-a，0），C（0，b），其中a＞0，b＞0．過(guò)點(diǎn)C的直線l與曲線E交于另一點(diǎn)D，并與x軸交于點(diǎn)P，直線AC與直線BD交于點(diǎn)Q．當(dāng)點(diǎn)P異于點(diǎn)B時(shí)，求證：

OP

•

OQ

為定值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線和圓的方程的應(yīng)用

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（1）在曲線C上任取一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P（x，y），根據(jù)圖象的變換可知點(diǎn)（ x，2y）在圓x²+y²=4上，由此能求出曲線E的方程．
（2）根據(jù)題意可設(shè)直線l的方程為y=kx+1，由

y=kx+1 x2 4 +y2=1

，得（4k²+1）x²+8kx=0．由此利用已知條件能證明

OP

•

OQ

為定值4．

解答： （本題滿分10分）
解：（1）在曲線C上任取一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P（x，y），
根據(jù)圖象的變換可知點(diǎn)（ x，2y）在圓x²+y²=4上，
∴x²+4y²=4，
∴曲線E的方程為

x2

4

+y²=1．（說(shuō)明：沒(méi)有過(guò)程得2分）    …（4分）
（2）根據(jù)題意可設(shè)直線l的方程為y=kx+1，
由

y=kx+1 x2 4 +y2=1

可得（4k²+1）x²+8kx=0．
解得x=0或x=

-8k

4k2+1

，代入直線l方程得D點(diǎn)坐標(biāo)為（

-8k

4k2+1

，

1-4k2

4k2+1

）．…（6分）
又直線AC的方程為

x

2

+y=1，直線BD的方程為y=

1+2k

2-4k

（x+2），
聯(lián)立

x 2 +y=1 y= 1+2k 2-4k (x+2)

   …（8分）
解得

x=-4k y=2k+1

因此Q（-4k，2k+1），又P（-

1

k

，0），
所以

OP

•

OQ

=（-

1

k

，0）•（-4k，2k+1）=4．
故

OP

•

OQ

為定值4．…（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查曲線E的方程的求法，考查

OP

•

OQ

為定值的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．