Question

正四棱錐S-ABCD中，O為底面中心，SO=AB=2，E、F分別為SB、CD的中點(diǎn)．
（1）求證：EF∥平面SAD；
（2）若G為SC上一點(diǎn)，且SG：GC=2：1，求證：SC⊥平面GBD．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：證明題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）取SA的中點(diǎn)M，連接EM、DM，可證四邊形EFDM為平行四邊形，即可證明EF∥平面SAD；
（2）先證明SC⊥BD，在OC上取點(diǎn)H，使得OH：HC=2：1，連接GH、OG，可得SO，OG，SG的值，從而由SG²+OG²=

24

9

+

12

9

=4=SO²可證SG⊥OG，即SC⊥OG，又SC⊥BD，從而得證．

解答： 證明：（1）取SA的中點(diǎn)M，連接EM、DM，在△SAB中，EN

∥

.

1

2

AB，又DF

∥

.

1

2

AB，
∴EM

∥

.

DF，
∴四邊形EFDM為平行四邊形
∴EF∥DM，又EF?平面SAD，DM?平面SAD
∴EF∥平面SAD．

（2）∵SO⊥地面ABCD，BD?平面ABCD
∴SO⊥BD，又BD⊥AC，SO∩AC=O，SO，AC?平面SAC
∴BD⊥平面SAC，SC?平面SAC
∴SC⊥BD
在OC上取點(diǎn)H，使得OH：HC=2：1，連接GH、OG，
∵

SG

GC

=

OH

HC

，∴GH∥SO∴GH⊥OC
Rt△GHO中，OH=

2

3

OC=

2 2

3

，GH=

1

3

SO=

2

3

∴OG=

OH2+GH2

=

8 9 + 4 9

=

2 3

3

Rt△SOC中，SC=

SO2+OC2

=

4+2

=

6

，∴SG=

2 6

3

，
△SOG中，SG²+OG²=

24

9

+

12

9

=4=SO²
∴SG⊥OG，即SC⊥OG，又SC⊥BD，OG、BD?平面GBD，OG∩BD=O
∴SC⊥平面GBD．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察了直線與平面垂直的判定，直線與平面平行的判定，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．