Question

在定義域的公共部分內，兩奇函數(shù)之積（商）為

 

函數(shù)；兩偶函數(shù)之積（商）為

 

函數(shù)；一奇一偶函數(shù)之積（商）為

 

函數(shù)；（注：取商時應分母不為零）

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：根據函數(shù)奇偶性的定義證明即可．

解答： 解：①設兩個奇函數(shù)f₁（x），f₂（x），且F（x）=f₁（x）×f₂（x），G（x）=f₁（x）÷f₂（x）
f₁（-x）=-f₁（x），f₂（-x）=-f₂（x）
F（-x）=f₁（-x）×f₂（-x）=[-f₁（x）]×[-f₂（x）]=f₁（x）×f₂（x）=F（x）
G（-x）=f₁（-x）÷f₂（-x）=[-f₁（x）]÷[-f₂（x）]=f₁（x）×f₂（x）=G（x）
所以F（x），G（x）是偶函數(shù)．
②設兩個偶函數(shù)f₁（x），f₂（x），且F（x）=f₁（x）×f₂（x），G（x）=f₁（x）÷f₂（x）
f₁（-x）=f₁（x），f₂（-x）=f₂（x）
F（-x）=f₁（-x）×f₂（-x）=f₁（x）×f₂（x）=F（x）
G（-x）=f₁（-x）÷f₂（-x）=f₁（x）÷f₂（x）=G（x）
所以F（x），G（x）是偶函數(shù)．
③設f₁（x）為偶函數(shù)，f₂（x）為奇函數(shù)，且F（x）=f₁（x）×f₂（x），G（x）=f₁（x）÷f₂（x）
f₁（-x）=f₁（x），f₂（-x）=-f₂（x）
F（-x）=f₁（-x）×f₂（-x）=f₁（x）×[-f₂（x）]=-f₁（x）×f₂（x）=-F（x）
G（-x）=f₁（-x）÷f₂（-x）=f₁（x）÷[-f₂（x）]=-f₁（x）×f₂（x）=-G（x）
所以F（x），G（x）是奇函數(shù)．
故答案為：偶；偶；奇．

點評：本題主要考察了函數(shù)奇偶性的性質，定義法證明，屬于基本知識的考查．