Question

已知函數(shù)f（x）=

lnx

x

（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若關于x的不等式lnx＜mx對一切x∈[a，2a]（a＞0）都成立，求m范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）先確定定義域為（0，+∞），求導，則由“f′（x）≥0，為增區(qū)間，f′（x）≤0，為減區(qū)間”求解．
（2）將“不等式lnx＜mx對一切x∈[a，2a]（其中a＞0）都成立”轉(zhuǎn)化為：m＞

lnx

x

，“對一切x∈[a，2a]（其中a＞0）都成立，”只要求得f（x）在x∈[a，2a]（其中a＞0）上的最大值即可．

解答： 解：（1）定義域為（0，+∞），
∴f′（x）=

1-lnx

x2

，
令f′（x）=0，解得x=e，
當f′（x）＞0，解得0＜x＜e，
當f′（x）＜0，解得x＞e，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，e）；f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（e，+∞）．
（2）∵不等式lnx＜mx對一切x∈[a，2a]（其中a＞0）都成立，
∴m＞

lnx

x

，對一切x∈[a，2a]（其中a＞0）都成立，
∴下面即求f（x）=

lnx

x

 在x∈[a，2a]（其中a＞0）上的最大值；
∵a＞0，由（1）知：f（x）在（0，e）上單調(diào)遞增，在（e，+∞）上單調(diào)遞減．
當2a≤e時，即0＜a≤

e

2

時，f（x）在[a，2a]上單調(diào)遞增，∴f（x）_max=f（2a）=

ln2a

2a

；
當a≥e時，f（x）在[a，2a]上單調(diào)遞減，∴f（x）_max=f（2a）=

lna

a

；
當a＜e＜2a時，即

e

2

＜a＜e時，f（x）在[a，e]上單調(diào)遞增，f（x）在[e，2a]上單調(diào)遞減，
∴f（x）_max=f（e）=

1

e

．
綜上得：
當0＜a≤

e

2

時，m＞

ln2a

2a

；
當a≥e時，m＞

lna

a

；
當

e

2

＜a＜e時，m＞

1

e

．

點評：本題主要考查用導數(shù)法研究函數(shù)的單調(diào)性，基本思路是：當函數(shù)為增函數(shù)時，導數(shù)大于等于零；當函數(shù)為減函數(shù)時，導數(shù)小于等于零，已知單調(diào)性求參數(shù)的范圍時，往往轉(zhuǎn)化為求相應函數(shù)的最值問題．