Question

已知函數(shù) f（x）=

2x-1

2x+1

（1）判斷函數(shù)的奇偶性；  
（2）求該函數(shù)的值域；  
（3）解關(guān)于x的不等式f（2x-1）＜

1

3

．

Answer 1

考點(diǎn)：其他不等式的解法,函數(shù)的值域,函數(shù)奇偶性的判斷

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)奇偶的定義即可判斷函數(shù)的奇偶性；  
（2）根據(jù)方式函數(shù)的性質(zhì)即可求該函數(shù)的值域；  
（3）結(jié)合函數(shù)奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系即可解不等式f（2x-1）＜

1

3

．

解答： 解：（1）∵f（-x）=

2-x-1

2-x+1

=

1-2x

1+2x

=-f（x），∴函數(shù)是奇函數(shù)；  
（2）f（x）=

2x-1

2x+1

=

2x+1-2

2x+1

=1-

2

2x+1

，
∵2^x+1＞1，∴0＜

2

2x+1

＜2，0＞-

2

2x+1

＞-2，
1＞1-

2

2x+1

＞-1，
即-1＜y＜1，
該函數(shù)的值域（-1，1）；  
（3）f（x）=

2x-1

2x+1

=

2x+1-2

2x+1

=1-

2

2x+1

，
∵y=2^x+1為增函數(shù)，∴y=

2

2x+1

為減函數(shù)，
y=-

2

2x+1

＞為增函數(shù)，
∴y=1-

2

2x+1

為增函數(shù)，
∵f（1）=

1

3

．
∴不等式f（2x-1）＜

1

3

等價(jià)為f（2x-1）＜f（1），
∵函數(shù)f（x）為增函數(shù)，
∴不等式等價(jià)為2x-1＜1．
即2x＜2，解得x＜1，
故不等式的解集為（-∞，1）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查指數(shù)型函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義以及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．