Question

14．已知曲線y=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{4}{3}$
（1）求曲線在x=2處的切線方程；
（2）求曲線過點(diǎn)（2，4）的切線方程．

Answer 1

分析 （1）求出曲線對應(yīng)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率和切點(diǎn)，由點(diǎn)斜式方程可得切線的方程；
（2）設(shè)切點(diǎn)A（x₀，$\frac{1}{3}$x₀³+$\frac{4}{3}$），可得切線的斜率和切線的方程，代入點(diǎn)（2，4），解方程可得切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，進(jìn)而得到所求切線的方程．

解答 解：（1）y=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{4}{3}$的導(dǎo)數(shù)為y′=x²，
可得在點(diǎn)P（2，4）處的切線的斜率k=y′|_x=2=4，
即有曲線在點(diǎn)P（2，4）處的切線方程為y-4=4（x-2），
即4x-y-4=0．
（2）設(shè)曲線y=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{4}{3}$與過點(diǎn)P（2，4）的切線相切于點(diǎn)A，
設(shè)A（x₀，$\frac{1}{3}$x₀³+$\frac{4}{3}$），
則切線的斜率k=y′|${\;}_{x={x}_{0}}$=x₀²．
則切線方程為y-（$\frac{1}{3}$x₀³+$\frac{4}{3}$）=x₀²（x-x₀），
即y=x₀²•x-$\frac{2}{3}$x₀³+$\frac{4}{3}$，
∵點(diǎn)P（2，4）在切線上，
∴4=2x₀²-$\frac{2}{3}$x₀³+$\frac{4}{3}$，
即x₀³-3x₀²+4=0，∴x₀³+x₀²-4x₀²+4=0，
∴x₀² （x₀+1）-4（x₀+1）（x₀-1）=0，
∴（x₀+1）（x₀-2）²=0，解得x₀=-1或x₀=2，
故所求的切線方程為4x-y-4=0或x-y+2=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)即為曲線在該點(diǎn)處切線的斜率，注意在某點(diǎn)處和過某點(diǎn)的切線的區(qū)別，屬于中檔題和易錯(cuò)題．