Question

19．已知數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，a₁+a₃+a₅=9，a₂+a₄+a₆=3，數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，則$\frac{{a}_{n}-{S}_{n}}{n}$的最小值為-4．

Answer 1

分析 利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其求和公式可得a_n，S_n，代入利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，∵a₁+a₃+a₅=9，a₂+a₄+a₆=3，
∴3a₁+6d=9，3a₁+9d=3，
聯(lián)立解得d=-2，a₁=7．
∴a_n=7-2（n-1）=9-2n，數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n=$\frac{n（7+9-2n）}{2}$=8n-n²．
則$\frac{{a}_{n}-{S}_{n}}{n}$=$\frac{9-2n-（8n-{n}^{2}）}{n}$=$\frac{9}{n}$+n-10≥2$\sqrt{\frac{9}{n}•n}$-10=-4，當(dāng)且僅當(dāng)n=3時(shí)取等號(hào)．
故答案為：-4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．