Question

平面內(nèi)與兩定點(diǎn)A₁（-a，0），A₂（a，0）（a＞0）連線的斜率之積等于常數(shù)m（m＜0）的點(diǎn)的軌跡，連同A₁，A₂兩點(diǎn)所成的曲線為C．
（Ⅰ）求曲線C的方程，并討論C的形狀；
（Ⅱ）設(shè)a=

3

，m=-

2

3

，對應(yīng)的曲線是C₁，已知?jiǎng)又本�l與橢圓C₁交于P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂）兩不同點(diǎn)，且S_△OPQ=

6

2

，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，探究x₁²+x₂²是否為定值，寫出解答過程．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程,球的體積和表面積

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）設(shè)出動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)，利用斜率乘積求出曲線軌跡方程，然后討論m的值，判斷曲線是圓、橢圓或雙曲線時(shí)m的值的情況；
（Ⅱ）根據(jù)已知設(shè)出直線l的方程，利用弦長公式求出|PQ|的長，利用點(diǎn)到直線的距離公式求點(diǎn)O到直線l的距離，根據(jù)三角形面積公式，即可求得x₁²+x₂²和y₁²+y₂²均為定值

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)動(dòng)點(diǎn)為M，其坐標(biāo)為（x，y），
當(dāng)x≠±a時(shí)，由條件可得

y

x-a

•

y

x+a

=

y2

x2-a2

=m
即mx²-y²=mav（x≠±a），
又A₁（-a，0），A₂（a，0）的坐標(biāo)滿足mx²-y²=ma²．
故依題意，曲線C的方程為mx²-y²=ma²．
當(dāng)m＜-1時(shí)，曲線C的方程為

x2

a2

+

y2

-ma2

=1，C是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓；
當(dāng)m=-1時(shí)，曲線C的方程為x²+y²=a²，C是圓心在原點(diǎn)的圓；
當(dāng)-1＜m＜0時(shí)，曲線C 的方程為

x2

a2

+

y2

-ma2

=1，C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓；
當(dāng)m＞0時(shí)，曲線C的方程為

x2

a2

-

y2

ma2

=1，C是焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線；  …（6分）
（Ⅱ）解：a=

3

，m=-

2

3

，對應(yīng)的曲線是C₁：

x2

3

+

y2

2

=1．
當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，P，Q兩點(diǎn)關(guān)于x軸對稱，
所以x₁=x₂，y₁=-y₂，
∵P（x₁，y₁）在橢圓上，
因此

x12

3

+

y12

2

=1①
又因?yàn)?span id="uafbgea" class="MathJye">S△OPQ=

6

2

所以|x₁||y₁|=

6

2

②
由①②得|x₁|=

6

2

，|y₁|=1．此時(shí)x₁²+x₂²=3，y₁²+y₂²=2；
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=kx+b
將其代入

x2

3

+

y2

2

=1，得（2+3k²）x²+6kbx+3（b²-2）=0，
其中△=36k²b²-12（2+3k²）（b²-2）=24（3k²+2-b²）＞0即3k²+2＞b²（*）
又x1+x2=-

6kb

2+3k2

，x1x2=

3(b2-2)

2+3k2

所以|PQ|=

1+k2

△

2+3k2

=

1+k2

2 6 3k2+2-b2

2+3k2

因?yàn)辄c(diǎn)O到直線l的距離為d=

|b|

1+k2

，
所以S_△OPQ=

1

2

1+k2

2 6 3k2+2-b2

2+3k2

|b|

1+k2

=

6 |b| 3k2+2-b2

2+3k2

又S△OPQ=

6

2

整理得3k²+2=2b²且符合（*）式，
此時(shí)

x

2 1

+

x

2 2

=(x1+x2)2-2x1x2=(-

6kb

2+3k2

)2-2×

3(b2-2)

2+3k2

=3
綜上所述

x

2 1

+

x

2 2

=3結(jié)論成立                                      …（13分）

點(diǎn)評：此題是個(gè)難題．本題考查了直線與橢圓的位置關(guān)系，弦長公式和點(diǎn)到直線的距離公式，是一道綜合性的試題，考查了學(xué)生綜合運(yùn)用知識解決問題的能力．