Question

12．如圖所示：“十字形”公路的交叉處周?chē)�呈扇形形狀，某市�?guī)劃擬在這塊扇形土塵修建一個(gè)圓形廣揚(yáng)，已知∠A0B=60°，AB的長(zhǎng)度=100πm，怎樣設(shè)計(jì)廣場(chǎng)的占地面積最大？其值是多少？

Answer 1

分析 由已知及弧長(zhǎng)公式可求OA，設(shè)⊙O₁與OA切于C點(diǎn)，連結(jié)O₁O、O₁C，可得O₁C=（300-O₁C）×$\frac{1}{2}$，解得O₁C，即可求得面積．

解答 解：如題圖，∵∠AOB=60°=$\frac{π}{3}$，$\widehat{AB}$=100π，
∴OA=$\frac{100π}{\frac{π}{3}}$=300（m）．
欲使圓形廣場(chǎng)的占地面積最大，只需⊙O₁與扇形相切．
設(shè)⊙O₁與OA切于C點(diǎn)，連結(jié)O₁O、O₁C，
則∠O₁OC=30°=$\frac{π}{6}$，O₁O=OA-O₁C=300-O₁C，
∴O₁C=O₁Osin$\frac{π}{6}$，即O₁C=（300-O₁C）×$\frac{1}{2}$．
解得O₁C=100（m），這時(shí)πO₁C²=10 000π（m²）．
答：圓形廣場(chǎng)的半徑為100 m時(shí)，其占地面積最大，且最大值為10000π m²．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了弧長(zhǎng)公式，圓的面積公式，考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．