Question

若函數(shù)f（x）=

lnx

x

的圖象為曲線C，函數(shù)g（x）=

1

2

ax+b的圖象為直線l．
（1）求y=f（x）在x=e處的切線方程；
（2）當(dāng)a=2，b=-3時(shí)，求F（x）=f（x）-g（x）的最大值；
（3）設(shè)直線l與曲線C的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x₁，x₂，且x₁≠x₂，求證：（x₁+x₂）g（x₁+x₂）＞2．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用

專題：計(jì)算題,證明題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和切點(diǎn)坐標(biāo)，即可得到切線方程；
（2）寫(xiě)出F（x）的表達(dá)式，求出導(dǎo)數(shù)，令F′（x）=0，即有x²+lnx-1=0，易得h（x）=x²+lnx-1在x＞0上是增函數(shù)，求得h（1）=0，求得F（x）的極大值，也為最大值；
（3）設(shè)直線l與曲線C的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x₁，x₂，且x₁≠x₂，列出兩方程，相減得到lnx₁-lnx₂=
（x₁-x₂）（

1

2

a（x₁+x₂）+b），即ln

x1

x2

=(x1-x2)g(x1+x2)，可令x=

x1

x2

，要證（x₁+x₂）g（x₁+x₂）＞2．即證ln

x1

x2

•

x1+x2

x1-x2

＞2．構(gòu)造函數(shù)h（x）=

x+1

x-1

lnx，即證h（x）＞2，討論x＞1，0＜x＜1即可得證．

解答： （1）解：f（x）=

lnx

x

（x＞0）的導(dǎo)數(shù)f′（x）=

1-lnx

x2

，
則切線的斜率k=

1-lne

e2

=0，切點(diǎn)為（e，

1

e

）．
故y=f（x）在x=e處的切線方程為：y-

1

e

=0即y=

1

e

；
（2）解：當(dāng)a=2，b=-3時(shí)，F(xiàn)（x）=f（x）-g（x）=

lnx

x

-（x-3）（x＞0）
則F′（x）=

1-lnx

x2

-1，令F′（x）=0，即有x²+lnx-1=0，
易得h（x）=x²+lnx-1在x＞0上是增函數(shù)，
且h（1）=0，故h（x）=0，解得x=1．
當(dāng)x＞1時(shí)，F(xiàn)′（x）＜0，0＜x＜1時(shí)，F(xiàn)′（x）＞0，則x=1為極大值點(diǎn)，也為最大值點(diǎn)，
故F（x）_max=F（1）=0-（1-3）=2；
（3）證明：設(shè)直線l與曲線C的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x₁，x₂，且x₁≠x₂，
則

lnx1

x1

=

1

2

ax₁+b，

lnx2

x2

=

1

2

ax₂+b，即有l(wèi)nx₁=

1

2

ax₁²+bx₁，lnx₂=

1

2

ax₂²+bx₂．
則lnx₁-lnx₂=（x₁-x₂）（

1

2

a（x₁+x₂）+b），即ln

x1

x2

=(x1-x2)g(x1+x2)，
可令x=

x1

x2

，要證（x₁+x₂）g（x₁+x₂）＞2．即證ln

x1

x2

•

x1+x2

x1-x2

＞2．
構(gòu)造函數(shù)h（x）=

x+1

x-1

lnx，即證h（x）＞2，當(dāng)x＞1時(shí)，即證lnx-

2(x-1)

x+1

＞0，
令m（x）=lnx-

2(x-1)

x+1

由于m′（x）=

1

x

-

2(x+1)-2(x-1)

(x+1)2

=

(x-1)2

x(x+1)2

＞0，
即m（x）在x＞1遞增，即有m（x）＞m（1）=0；
同理0＜x＜1，可證lnx-

2(x-1)

x+1

＜0，
故（x₁+x₂）g（x₁+x₂）＞2成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用：求切線方程和求單調(diào)區(qū)間、求極值和最值，考查構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間，并運(yùn)用單調(diào)性證明不等式，本題屬于難題．