Question

9．（1）已知方程x²+（m-2）x+2m一1=0的較大實(shí)根在0和1之間，求m的取值范圍；
（2）已知方程x²+（m-2）x+2m-1=0的較小實(shí)根在0和1之間，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）方程x²+（m-2）x+2m-1=0的較大實(shí)根在區(qū)間（0，1）內(nèi)，可分類研究，分為：有且只有一個大根在區(qū)間（0，1）內(nèi)和兩根均在區(qū)間（0，1）內(nèi)，得到關(guān)于m的關(guān)系式，化簡得本題結(jié)論
（2）方程x²+（m-2）x+2m-1=0的較小實(shí)根在區(qū)間（0，1）內(nèi)，可分類研究，分為：有且只有一個小根在區(qū)間（0，1）內(nèi)和兩根均在區(qū)間（0，1）內(nèi)，得到關(guān)于m的關(guān)系式，化簡得本題結(jié)論

解答 解：（1）記f（x）=x²+（m-2）x+2m-1=0，
∵x²+（m-2）x+2m-1=0的較大實(shí)根在區(qū)間（0，1）內(nèi)，
∴$\left\{\begin{array}{l}f（0）＜0\\ f（1）＞0\\-\frac{m-2}{2}＜1\end{array}\right.$，或 $\left\{\begin{array}{l}f（0）＞0\\ f（1）＞0\\ 0＜-\frac{m-2}{2}＜1\\ f（-\frac{m-2}{2}）＜0\end{array}\right.$，
解之得：$\frac{2}{3}$＜m＜6-2$\sqrt{7}$．
（2）記f（x）=x²+（m-2）x+2m-1=0，
∵x²+（m-2）x+2m-1=0的較小實(shí)根在區(qū)間（0，1）內(nèi)，
∴$\left\{\begin{array}{l}f（0）＞0\\ f（1）＜0\\-\frac{m-2}{2}＞0\end{array}\right.$，或 $\left\{\begin{array}{l}f（0）＞0\\ f（1）≥0\\ 0＜-\frac{m-2}{2}＜1\\ f（-\frac{m-2}{2}）＜0\end{array}\right.$，
解之得：$\frac{1}{2}$＜m＜6-2$\sqrt{7}$．

點(diǎn)評 本題考查的是方程根的分布，還考查了二次函數(shù)的圖象和分類討論的數(shù)學(xué)思想，本題有一難度，屬于中檔題