Question

20．下列有關(guān)命題的說法正確的有（　　）
①命題“若x=y，則sinx=siny”的逆命題為真命題；
②命題“?x∈R，使得x²+x+1＜0”的否定是：“?x∈R，均有x²+x+1＜0”；
③“a=-3”是“直線l₁：ax+（1-a）y-3=0與直線l₂：（a-1）x+（2a+3）y-2=0互相垂直”的充分不必要條件；
④在雙曲線C：x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1上存在兩個點(diǎn)滿足|PF₁|=$\sqrt{2}$|PF₂|，其中F₁，F(xiàn)₂分別為雙曲線C的左、右焦點(diǎn)．

• A． 1個
• B． 2個
• C． 3個
• D． 4個

Answer 1

分析 ①原命題的逆命題為“若sinx=siny，則x=y”是假命題，反例如sin$\frac{π}{3}$=sin$\frac{2π}{3}$；
②原命題的否定是：“?x∈R，均有x²+x+1≥0”，即可判斷出真假；
③對a分類討論，利用兩條直線相互垂直的充要條件即可得出；
④在雙曲線C上假設(shè)存在兩個點(diǎn)滿足|PF₁|=$\sqrt{2}$|PF₂|，設(shè)|PF₁|=m，|PF₂|=n，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{m=\sqrt{2}n}\\{m-n=2}\end{array}\right.$，解得m，n，根據(jù)雙曲線的對稱性可知：在雙曲線的右支上存在兩個點(diǎn)滿足|PF₁|=$\sqrt{2}$|PF₂|，即可判斷出正誤．

解答 解：①命題“若x=y，則sinx=siny”的逆命題為“若sinx=siny，則x=y”是假命題，反例如sin$\frac{π}{3}$=sin$\frac{2π}{3}$；
②命題“?x∈R，使得x²+x+1＜0”的否定是：“?x∈R，均有x²+x+1≥0”，因此是假命題；
③直線l₁：ax+（1-a）y-3=0與直線l₂：（a-1）x+（2a+3）y-2=0，當(dāng)a=1時，兩條直線分別化為：x-3=0，5y-2=0，此時兩條直線相互垂直；當(dāng)a=-$\frac{3}{2}$時，兩條直線分別化為：3x-5y+6=0，5x+4=0，此時兩條直線不垂直，舍去；當(dāng)a≠1，-$\frac{3}{2}$時，兩條直線的斜率分別為：$\frac{a}{a-1}$，$\frac{1-a}{2a+3}$，若兩條直線相互垂直，則$\frac{a}{a-1}$×$\frac{1-a}{2a+3}$=-1，解得a=-3．綜上可得：兩條直線相互垂直的充要條件是：a=-3，1，因此“a=-3”是“直線l₁：ax+（1-a）y-3=0與直線l₂：（a-1）x+（2a+3）y-2=0互相垂直”的充分不必要條件，是真命題．
④在雙曲線C：x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1上假設(shè)存在兩個點(diǎn)滿足|PF₁|=$\sqrt{2}$|PF₂|，設(shè)|PF₁|=m，|PF₂|=n，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{m=\sqrt{2}n}\\{m-n=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=2\sqrt{2}+4}\\{n=2\sqrt{2}+2}\end{array}\right.$，根據(jù)雙曲線的對稱性可知：在雙曲線的右支上存在兩個點(diǎn)滿足|PF₁|=$\sqrt{2}$|PF₂|，因此是真命題．
綜上可得：是真命題的有③④．
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查了簡易邏輯的判定方法、直線相互垂直的充要條件、雙曲線的性質(zhì)，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．