Question

20．若對(duì)?x，y∈[0，+∞），不等式4ax≤e^x+y-2+e^x-y-2+2恒成立，則實(shí)數(shù)a的最大值是$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 當(dāng)x=0時(shí)，不等式即為0≤e^y-2+e^-y-2+2，顯然成立；當(dāng)x＞0時(shí)，設(shè)f（x）=e^x+y-2+e^x-y-2+2，原不等式恒成立，即為不等式4ax≤f（x）恒成立．運(yùn)用基本不等式和參數(shù)分離可得a≤$\frac{1+{e}^{x-2}}{2x}$在x＞0時(shí)恒成立，令g（x）=$\frac{1+{e}^{x-2}}{2x}$，通過(guò)求導(dǎo)判斷單調(diào)性求得g（x）的最小值即可得到a的最大值．

解答 解：當(dāng)x=0時(shí)，不等式即為0≤e^y-2+e^-y-2+2，顯然成立；
當(dāng)x＞0時(shí)，設(shè)f（x）=e^x+y-2+e^x-y-2+2，
不等式4ax≤e^x+y-2+e^x-y-2+2恒成立，
即為不等式4ax≤f（x）恒成立．
即有f（x）=e^x-2（e^y+e^-y）+2≥e^x-2•2$\sqrt{{e}^{y}•{e}^{-y}}$+2=2+2e^x-2（當(dāng)且僅當(dāng)y=0時(shí)，取等號(hào)），
由題意可得4ax≤2+2e^x-2，
即有a≤$\frac{1+{e}^{x-2}}{2x}$在x＞0時(shí)恒成立，
令g（x）=$\frac{1+{e}^{x-2}}{2x}$，g′（x）=$\frac{2x{e}^{x-2}-2（1+{e}^{x-2}）}{4{x}^{2}}$，
令g′（x）=0，即有（x-1）e^x-2=1，
令h（x）=（x-1）e^x-2，h′（x）=xe^x-2，
當(dāng)x＞0時(shí)h（x）遞增，
由于h（2）=1，即有（x-1）e^x-2=1的根為2，
當(dāng)x＞2時(shí)，g（x）遞增，0＜x＜2時(shí)，g（x）遞減，
即有x=2時(shí)，g（x）取得最小值，為$\frac{1+1}{4}$=$\frac{1}{2}$，
則有a≤$\frac{1}{2}$．
當(dāng)x=2，y=0時(shí)，a取得最大值$\frac{1}{2}$．
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式恒成立問(wèn)題注意轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題，運(yùn)用參數(shù)分離和構(gòu)造函數(shù)運(yùn)用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性是解題的關(guān)鍵．