Question

17．已知曲線f（x）=e^x-ax，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．
（1）若曲線f（x）=y在x=0處的切線與直線x+y-3=0平行，求函數(shù)y=f（x）的極值；
（2）若不等式f（x）≥1在區(qū)間[0，+∞）上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，由兩直線平行的條件可得a=2，再求f（x）的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而得到極值；
（2）不等式f（x）≥1在區(qū)間[0，+∞）上恒成立，即為e^x-ax-1≥0在區(qū)間[0，+∞）上恒成立．可令g（x）
=e^x-ax-1，求出導(dǎo)數(shù)，對(duì)a討論，①當(dāng)a≤0時(shí)，②當(dāng)a＞1時(shí)，③當(dāng)0＜a≤1時(shí)，運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性，求得最值，即可判斷a的范圍．

解答 解：（1）f（x）=e^x-ax的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=e^x-a，
曲線f（x）=y在x=0處的切線斜率為k=1-a，
由切線與直線x+y-3=0平行，
則1-a=-1，解得a=2，
即有f（x）=e^x-2x，f′（x）=e^x-2，
當(dāng)x＞ln2時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在（ln2，+∞）遞增；
當(dāng)x＜ln2時(shí)，f′（x）＜0，f（x）在（-∞，ln2）遞減．
即有x=ln2處，f（x）取得極小值，且為2-2ln2，無(wú)極大值．
（2）不等式f（x）≥1在區(qū)間[0，+∞）上恒成立，即為
e^x-ax-1≥0在區(qū)間[0，+∞）上恒成立．
可令g（x）=e^x-ax-1，g′（x）=e^x-a，
①當(dāng)a≤0時(shí)，由e^x＞0，g′（x）＞0，g（x）在[0，+∞）遞增，
即有g(shù)（x）≥g（0）=0，成立；
②當(dāng)a＞1時(shí)，當(dāng)x＞lna時(shí)，g′（x）＞0，g（x）在（lna，+∞）遞增，
當(dāng)0＜x＜lna時(shí)，g′（x）＜0，g（x）在（0，lna）遞減，
即有x=lna處g（x）取得極小值，也為最小值，且為a-alna-1≥0，
由于a-alna-1的導(dǎo)數(shù)為1-（1+lna）=-lna＜0，即有a-alna-1＜1-ln1-1=0，
則a-alna-1≥0無(wú)解；
③當(dāng)0＜a≤1時(shí)，由于x≥0，e^x≥1，g′（x）=e^x-a＞0恒成立，
即有g(shù)（x）在[0，+∞）遞增，
即有g(shù)（x）≥g（0）=0，成立．
綜上可得，a的取值范圍為：（-∞，1]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，同時(shí)考查不等式恒成立問題注意轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，運(yùn)用分類討論的思想方法是解題的關(guān)鍵．