Question

某工廠統(tǒng)計資料顯示，一種產(chǎn)品次品率p與日產(chǎn)量x（x∈N^*，80≤x≤100）件之間的關(guān)系如下表所示：

日產(chǎn)量x	80	81	82	…	x	…	98	99	100
次品率p	1 28	1 27	1 26	…	P（x）	…	1 10	1 9	1 8

其中P（x）=

1

a-x

（a為常數(shù)）．已知生產(chǎn)一件正品盈利k元，生產(chǎn)一件次品損失

k

3

元（k為給定常數(shù)）．
（1）求出a，并將該廠的日盈利額y（元）表示為日生產(chǎn)量x（件）的函數(shù)；
（2）為了獲得最大盈利，該廠的日生產(chǎn)量應(yīng)該定為多少件？

Answer 1

分析：（1）首先根據(jù)列表求出a的值，然后列出P（x）的關(guān)系式，整理即可．
（2）令108-x=t，t∈[8，28]，t∈N^*，把函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的等式，利用基本不等式求解

解答：解：（1）根據(jù)列表數(shù)據(jù)可得：a=108
P(x)=

1

108-x

(80≤x≤100，x∈N*)
由題意，當日產(chǎn)量為x時，
次品數(shù)為：

1

108-x

• x
正品數(shù)：(1-

1

108-x

)• x
∴y=(1-

1

108-x

)• x•k-

1

108-x

• x•

1

3

•k
整理得：y=

1

3

kx( 3-

4

108-x

)  （80≤x≤100，x∈N^*）

（2）令108-x=t，t∈[8，28]，t∈N^*
y=

1

3

k( 108-t)(3-

4

t

)
=

1

3

k[328-3(t+

144

t

)]
≤

1

3

k(328-3•2

t 144 t

)
=

256

3

k
當且僅當t=

144

t

即t=12時取得最大盈利，此時x=96

點評：本題考查根據(jù)實際問題選擇函數(shù)類型，根據(jù)題意列出等式，并考查利用基本不等式求最值，屬于中檔題．