Question

19．在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=1，BC=3，AA₁=2，E，F(xiàn)分別是下底面的棱A₁B₁，B₁C₁的中點(diǎn)，M是上底面的棱AD上一點(diǎn)，且AM=2，過M，E，F(xiàn)的平面與BA的延長線交于點(diǎn)N，則MN的長度為（　�。�

• A． $\sqrt{5}$
• B． $\frac{{\sqrt{10}}}{3}$
• C． $\frac{{\sqrt{10}}}{2}$
• D． $\frac{{2\sqrt{10}}}{3}$

Answer 1

分析 如圖連結(jié)AC，作MH∥AC交CD與H，得EF∥AC∥MH，過M，E，F(xiàn)的平面與面ABCD的交線時MH，延長HM交BA延長線與N，根據(jù)相似可求MN．

解答 解：如圖連結(jié)AC，作MH∥AC交CD與H，∵E，F(xiàn)分別是棱A₁B₁，B₁C₁的中點(diǎn)，∴EF∥AC∥MH，
過M，E，F(xiàn)的平面與面ABCD的交線時MH，延長HM交BA延長線與N，
根據(jù)AN∥HD可得$\frac{HM}{MN}=\frac{MD}{MA}=\frac{1}{2}$，∴$MN=\frac{2}{3}HN=\frac{2}{3}AC=\frac{2}{3}×\sqrt{10}$，∴MN的長度為$\frac{2\sqrt{10}}{3}$，
故選：D，
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點(diǎn)評 本題考查了空間作圖，即線段的長度求解，屬于基礎(chǔ)題．