Question

16．定義域為R的偶函數(shù)f（x）的最小正周期是π，當x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，f（x）=sinx．
（1）求x∈[$\frac{π}{2}$，π]時，f（x）的解析式；
（2）畫出函數(shù)f（x）在[-π，π]上的簡圖．

Answer 1

分析 （1）首先取x∈[-$\frac{π}{2}$，0]，得到-x∈[0，$\frac{π}{2}$]，把-x代入x∈[0，$\frac{π}{2}$]時的解析式，結(jié)合偶函數(shù)的概念可求得x∈[-$\frac{π}{2}$，0]時的解析式，然后再取x∈[$\frac{π}{2}$，π]，加-π后得到x-π∈[0，$\frac{π}{2}$]，代入x∈[0，$\frac{π}{2}$]時的解析式，結(jié)合周期函數(shù)的概念求解f（x）；
（2）作出函數(shù)在[-π，0]上的圖象，根據(jù)偶函數(shù)圖象關(guān)于y軸軸對稱得到函數(shù)在[0，π]上的圖象；

解答 解：（1）因為f（x）是偶函數(shù)，所以f（-x）=f（x），
而當x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，f（x）=sinx，
所以x∈[-$\frac{π}{2}$，0]時，-x∈[0，$\frac{π}{2}$]，f（x）=f（-x）=sin（-x）=-sinx．
又當x∈[$\frac{π}{2}$，π]時，x-π∈[-$\frac{π}{2}$，0]，
因為f（x）的周期為π，所以f（x）=f（x-π）=sin（x-π）=-sinx．
所以當x∈[$\frac{π}{2}$，π]時f（x）=-sinx．
（2）函數(shù)圖象如圖，

點評 本題考查了函數(shù)解析式的求解及常用方法，考查了三角函數(shù)的周期及圖象，考查了三角函數(shù)的奇偶性，解答此題的關(guān)鍵是，通過周期變換和平移變換、把要求解解析式的范圍內(nèi)的變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的范圍內(nèi)，此題是中檔題．