Question

5．將圓x²+y²=1上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)都伸長為原來的$\sqrt{3}$倍，縱坐標(biāo)都伸長為原來的2倍，得到曲線C．
（1）求曲線C的參數(shù)方程；
（2）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知點(diǎn)P的極坐標(biāo)為$（2，\frac{2π}{3}）$，且點(diǎn)P關(guān)于直線$θ=\frac{5π}{6}$的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)Q，設(shè)直線PQ與曲線C相交于A、B兩點(diǎn)，求線段AB的垂直平分線的極坐標(biāo)方程．

Answer 1

分析 （1）依題意，得$\left\{{\begin{array}{l}{x'=\sqrt{3}x}\\{y'=2y}\end{array}}\right.$，則$\left\{{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{{\sqrt{3}}}x'}\\{y=\frac{1}{2}y'}\end{array}}\right.$，代入x²+y²=1中，可得曲線C的方程為$\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{4}=1$，即可求曲線C的參數(shù)方程；
（2）求出直線PQ的直角坐標(biāo)方程，與橢圓方程聯(lián)立，可得AB的中點(diǎn)的坐標(biāo)，求出線段AB的垂直平分線的方程，化為極坐標(biāo)方程即可．

解答 解：（1）設(shè)（x'，y'）為曲線C上的點(diǎn)，圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），
依題意，得$\left\{{\begin{array}{l}{x'=\sqrt{3}x}\\{y'=2y}\end{array}}\right.$，則$\left\{{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{{\sqrt{3}}}x'}\\{y=\frac{1}{2}y'}\end{array}}\right.$，代入x²+y²=1中，得$\frac{{{{x'}^2}}}{3}+\frac{{{{y'}^2}}}{4}=1$．
∴曲線C的方程為$\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{4}=1$，參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosα}\\{y=2sinα}\end{array}}\right.（α$為參數(shù)）…（6分）
（2）∵點(diǎn)P$（2，\frac{2π}{3}）$的直角坐標(biāo)為$（-1，\sqrt{3}）$，直線$θ=\frac{5π}{6}$的直角坐標(biāo)方程為$y=-\frac{{\sqrt{3}}}{3}x$．
∴直線PQ的斜率為$\sqrt{3}$，直角坐標(biāo)方程為$y-\sqrt{3}=\sqrt{3}（x+1）$，即$y=\sqrt{3}（x+2）$．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯(lián)立$\left\{{\begin{array}{l}{y=\sqrt{3}（x+2）}\\{\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{4}=1}\end{array}}\right.$得13x²+36x+24=0．
∴${x_1}+{x_2}=-\frac{36}{13}$，∴AB的中點(diǎn)的坐標(biāo)為$（-\frac{18}{13}，\frac{{8\sqrt{3}}}{13}）$．
∴線段AB的垂直平分線的方程為$y-\frac{{8\sqrt{3}}}{13}=-\frac{{\sqrt{3}}}{3}（x+\frac{18}{13}）$，即$x+\sqrt{3}y-\frac{6}{13}=0$，
化為極坐標(biāo)方程是$ρcosθ+\sqrt{3}ρsinθ-\frac{6}{13}=0$…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查曲線的參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．