Question

【題目】筒車是我國(guó)古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理（如圖1）．因其經(jīng)濟(jì)又環(huán)保，至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中得到使用（如圖2）．假定在水流量穩(wěn)定的情況下，筒車上的每一個(gè)盛水筒都做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．因筒車上盛水筒的運(yùn)動(dòng)具有周期性，可以考慮利用三角函數(shù)模型刻畫盛水筒（視為質(zhì)點(diǎn)）的運(yùn)動(dòng)規(guī)律．將筒車抽象為一個(gè)幾何圖形，建立直角坐標(biāo)系（如圖3）．設(shè)經(jīng)過t秒后，筒車上的某個(gè)盛水筒從點(diǎn)P0運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P．由筒車的工作原理可知，這個(gè)盛水筒距離水面的高度H(單位: )，由以下量所決定：筒車轉(zhuǎn)輪的中心O到水面的距離h，筒車的半徑r，筒車轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω（單位: ），盛水筒的初始位置P0以及所經(jīng)過的時(shí)間t(單位: )．已知r=3，h=2，筒車每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)(按逆時(shí)針方向)1.5圈， 點(diǎn)P0距離水面的高度為3.5，若盛水筒M從點(diǎn)P0開始計(jì)算時(shí)間，則至少需要經(jīng)過_______就可到達(dá)最高點(diǎn)；若將點(diǎn)距離水面的高度表示為時(shí)間的函數(shù)，則此函數(shù)表達(dá)式為_________．

圖1 圖2 圖3

Answer 1

【答案】

【解析】

由題設(shè)條件求出初始位置與非負(fù)半軸的夾角，當(dāng)第一次到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)，求出所轉(zhuǎn)過的弧度，根據(jù)筒車每秒鐘轉(zhuǎn)動(dòng)的弧度，求出第一次到達(dá)最高點(diǎn)的時(shí)間，即可得出第一空；

由三角函數(shù)的定義得出動(dòng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)，利用縱坐標(biāo)求出點(diǎn)距離水面的高度，即可得出第二空.

因?yàn)辄c(diǎn)P0距離水面的高度為3.5，則開始時(shí)與非負(fù)半軸的夾角為

由題意可知，筒車每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)(按逆時(shí)針方向)，即筒車每秒鐘轉(zhuǎn)動(dòng)

當(dāng)第一次到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)，所轉(zhuǎn)過的弧度為，則所用時(shí)間為

即若盛水筒M從點(diǎn)P0開始計(jì)算時(shí)間，則至少需要經(jīng)過就可到達(dá)最高點(diǎn)；

設(shè)與非負(fù)半軸的夾角為，則

由三角函數(shù)的定義可知點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，

則點(diǎn)距離水面的高度的函數(shù)為，

故答案為：；