Question

16．如圖是底面積為$\sqrt{3}$，體積為$\sqrt{3}$的正三棱錐的主視圖（等腰三角形）和左視圖（等邊三角形），此正三棱錐的側(cè)視圖的面積為（　　）

• A． $\frac{3\sqrt{3}}{2}$
• B． 3
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\frac{3}{2}$

Answer 1

分析 設(shè)棱長(zhǎng)為a，則每個(gè)面的斜高為$\frac{\sqrt{3}}{2}a$，由底面積為$\sqrt{3}$能求出a=2，由體積為$\sqrt{3}$，求出三棱錐的高為3．作出這個(gè)三棱錐S-ABC，取AC中點(diǎn)D，連結(jié)SD、BD，則△SBD是正三棱錐的側(cè)視圖，由此能求出此正三棱錐的側(cè)視圖的面積．

解答 解：設(shè)棱長(zhǎng)為a，則每個(gè)面的斜高為$\frac{\sqrt{3}}{2}a$，
所以底面積S=$\frac{1}{2}a×\frac{\sqrt{3}a}{2}=\sqrt{3}$，
解得：a=2．
體積V=$\frac{1}{3}Sh$=$\frac{1}{3}×\sqrt{3}h$=$\sqrt{3}$，
解得三棱錐的高h(yuǎn)=3．
作出這個(gè)三棱錐，如圖S-ABC，SO⊥平面ABC，則SO=3，△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，
取AC中點(diǎn)D，連結(jié)SD、BD，則BD=$\sqrt{3}$，
△SBD是正三棱錐的側(cè)視圖，
∴此正三棱錐的側(cè)視圖的面積為S_△SBD=$\frac{1}{2}×BD×SO$=$\frac{1}{2}×\sqrt{3}×3$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正三棱錐的側(cè)視圖的面積的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意正三棱錐的三視圖的性質(zhì)的合理運(yùn)用．