Question

19．已知不等式組$\left\{\begin{array}{l}{y≤x}\\{x+y≤8}\\{y≥a}\end{array}\right.$表示的平面區(qū)域的面積為25，點P（x，y）在所給平面區(qū)域內(nèi)，則z=2x+y的最大值為17．

Answer 1

分析 由約束條件作出可行域，結(jié)合可行域的面積求得a值，化目標函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，把最優(yōu)解的坐標代入目標函數(shù)得答案．

解答 解：由約束條件$\left\{\begin{array}{l}{y≤x}\\{x+y≤8}\\{y≥a}\end{array}\right.$作出可行域如圖，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{x+y=8}\end{array}\right.$，解得C（4，4），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=a}\end{array}\right.$，解得A（a，a），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=a}\\{x+y=8}\end{array}\right.$，解得B（8-a，a），
∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}（8-2a）•（4-a）=25$，即a=-1，
∴B（9，-1），
化目標函數(shù)z=2x+y為y=-2x+z，
由圖可知，當直線y=-2x+z過點B時，直線在y軸上的截距最大，z有最大值為17．
故答案為：17．

點評 本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．