Question

14．設(shè)拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)是圓x²+y²=6x的圓心；
（1）求此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過拋物線焦點(diǎn)且斜率為2的直線與拋物線和圓分別交于A，B，C，D四點(diǎn)，求△OAB與△OCD的面積之和．

Answer 1

分析 （1）求出圓的圓心坐標(biāo)，可得拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，即可求此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過拋物線焦點(diǎn)且斜率為2的直線方程為y=2x-6，分別于拋物線、圓聯(lián)立，求得交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，即可求△OAB與△OCD的面積之和．

解答 解：（1）圓x²+y²=6x的圓心為（3，0），
∴拋物線的焦點(diǎn)是（3，0），
∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y²=12x；
（2）過拋物線焦點(diǎn)且斜率為2的直線方程為y=2x-6，
與y²=12x聯(lián)立，可得y²-6y-36=0，∴y=3±3$\sqrt{5}$，
與x²+y²=6x聯(lián)立，可得y²-6y-36=0，∴y=±$\frac{6}{5}$$\sqrt{5}$，
∴△OAB與△OCD的面積之和為$\frac{1}{2}×3×6\sqrt{5}+\frac{1}{2}×3×\frac{12}{5}\sqrt{5}$=$\frac{63}{5}$$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的方程與性質(zhì)，考查直線與拋物線、圓的位置關(guān)系，考查三角形面積的計(jì)算，屬于中檔題．