Question

若集合具有以下性質(zhì)：①，；②若，則，且時(shí)，.

則稱集合是“好集”.（Ⅰ）分別判斷集合，有理數(shù)集是否是“好集”，并說明理由；

（Ⅱ）設(shè)集合是“好集”，求證：若，則；（Ⅲ）對任意的一個“好集”，分別判斷下面命題的真假，并說明理由.命題：若，則必有；命題：若，且，則必有；

Answer 1

解：（Ⅰ）集合不是“好集”. 理由是：假設(shè)集合是“好集”. 因?yàn)?sub>，，所以. 這與矛盾. 有理數(shù)集是“好集”. 因?yàn)?sub>，,對任意的，有，且時(shí)，.

所以有理數(shù)集是“好集”.

（Ⅱ）因?yàn)榧��?sub>是“好集”，所以 .若，則，即.所以，即.   

（Ⅲ）命題均為真命題. 理由如下： 對任意一個“好集”，任取，

若中有0或1時(shí)，顯然.下設(shè)均不為0，1. 由定義可知：.

所以 ，即.所以 . 由（Ⅱ）可得：，即. 同理可得.若或，則顯然.若且，則.

所以 .所以 由（Ⅱ）可得：.所以 .

綜上可知，，即命題為真命題.若，且，則.所以 ，即命題為真命題.