Question

7．已知正項數列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足S_n=2a_n-$\frac{1}{2}$．
（1）證明：數列{a_n}是等比數列；
（2）設b_n=log₂a_n+2，求數列{$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）由S_n=2a_n-$\frac{1}{2}$，可得：n=1時，${a}_{1}=2{a}_{1}-\frac{1}{2}$，解得a₁．∴n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，化簡即可證明．
（2）由（1）可得：a_n=2^n-2，b_n=log₂a_n+2=n．于是$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．利用“裂項求和”方法即可得出．

解答 （1）證明：∵S_n=2a_n-$\frac{1}{2}$，∴n=1時，${a}_{1}=2{a}_{1}-\frac{1}{2}$，解得a₁=$\frac{1}{2}$，
∴n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-$\frac{1}{2}$-$（2{a}_{n-1}-\frac{1}{2}）$，化為：a_n=2a_n-1．
∴數列{a_n}是等比數列，首項為$\frac{1}{2}$，公比為2．
（2）解：由（1）可得：${a}_{n}=\frac{1}{2}×{2}^{n-1}$=2^n-2．
∴a_n+2=2ⁿ．
b_n=log₂a_n+2=n．
∴$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．
∴數列{$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$}的前n項和T_n=$（1-\frac{1}{2}）$+$（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$=1$-\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．

點評 本題考查了遞推關系、等比數列的定義及其通項公式、“裂項求和”方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．