Question

【題目】定義max{x1，x2，x3，…，xn}表示x1，x2，x3，…，xn中的最大值.已知數(shù)列an=，bn=，cn=，其中n+m+p=200，m=kn，n，m，p，k∈N*.記dn=max{an，bn，cn}

（Ⅰ）求max{an，bn}

（Ⅱ）當(dāng)k=2時(shí)，求dn的最小值；

（Ⅲ）k∈N*，求dn的最小值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）當(dāng)，max{an，bn}=，當(dāng)，max{an，bn}=；（Ⅱ）；（Ⅲ）

【解析】

（Ⅰ）由題意，max{an，bn}＝max{，}，，分別求得k＝1、k＝2及k≥3時(shí)，分別求得max{an，bn}；

（Ⅱ）當(dāng)k＝2時(shí)，由（Ⅰ）可得dn＝max{an，cn}＝max{，}，根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性求得n，dn取得最小值，4445，分別求得d44和d45，比較即可求得dn取得最小值；

（Ⅲ）由（II）可知，當(dāng)k＝2時(shí)，dn的最小值為，當(dāng)k＝1及k≥3時(shí)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性，分別求得可能取最小值時(shí)，n的取值，比較即可求得dn取得最小值.

解：（ I）由題意，max{an，bn}＝max{，}，

因?yàn)?/span>，

所以，當(dāng)k＝1時(shí)，，則max{an，bn}＝bn，

當(dāng)k＝2時(shí)，，則max{an，bn}＝an，

當(dāng)k≥3時(shí)，，則max{an，bn}＝an．

（ II）當(dāng)k＝2時(shí)，dn＝max{an，bn，cn}＝max{an，cn}＝max{，}，

因?yàn)閿?shù)列{an}為單調(diào)遞減數(shù)列，數(shù)列{cn}為單調(diào)遞增數(shù)列，

所以當(dāng)時(shí)，dn取得最小值，此時(shí)n．

又因?yàn)?/span>4445，

而d44＝max{a44，c44}＝a44，d45＝c45，有d44＜d45．

所以dn的最小值為．

（ III）由（II）可知，當(dāng)k＝2時(shí)，dn的最小值為．

當(dāng)k＝1時(shí)，dn＝max{an，bn，cn}＝max{bn，cn}＝max{，}．

因?yàn)閿?shù)列{bn}為單調(diào)遞減數(shù)列，數(shù)列{cn}為單調(diào)遞增數(shù)列，

所以當(dāng)時(shí)，dn取得最小值，此時(shí)n．

又因?yàn)?/span>7273，

而d72＝b72，d72＝c72，．

此時(shí)dn的最小值為，．

（2）k≥3時(shí)，，an＞bn，

所以dn＝max{an，bn，cn}＝max{an，cn}≥max{，}．

設(shè)hn＝max{，}，

因?yàn)閿?shù)列{an}為單調(diào)遞減數(shù)列，數(shù)列{}為單調(diào)遞增數(shù)列，

所以當(dāng)時(shí)，hn取得最小值，此時(shí)n．

又因?yàn)?/span>3637，

而h36＝a36，h37，．

此時(shí)dn的最小值為，．．

綜上，dn的最小值為d44．