Question

【題目】定義max{x1，x2，x3，…，xn}表示x1，x2，x3，…，xn中的最大值.已知數(shù)列an=，bn=，cn=，其中n+m+p=200，m=kn，n，m，p，k∈N*.記dn=max{an，bn，cn}

（Ⅰ）求max{an，bn}

（Ⅱ）當k=2時，求dn的最小值；

（Ⅲ）k∈N*，求dn的最小值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）當，max{an，bn}=，當，max{an，bn}=；（Ⅱ）；（Ⅲ）

【解析】

（Ⅰ）由題意，max{an，bn}＝max{，}，，分別求得k＝1、k＝2及k≥3時，分別求得max{an，bn}；

（Ⅱ）當k＝2時，由（Ⅰ）可得dn＝max{an，cn}＝max{，}，根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性求得n，dn取得最小值，4445，分別求得d44和d45，比較即可求得dn取得最小值；

（Ⅲ）由（II）可知，當k＝2時，dn的最小值為，當k＝1及k≥3時，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性，分別求得可能取最小值時，n的取值，比較即可求得dn取得最小值.

解：（ I）由題意，max{an，bn}＝max{，}，

因為，

所以，當k＝1時，，則max{an，bn}＝bn，

當k＝2時，，則max{an，bn}＝an，

當k≥3時，，則max{an，bn}＝an．

（ II）當k＝2時，dn＝max{an，bn，cn}＝max{an，cn}＝max{，}，

因為數(shù)列{an}為單調(diào)遞減數(shù)列，數(shù)列{cn}為單調(diào)遞增數(shù)列，

所以當時，dn取得最小值，此時n．

又因為4445，

而d44＝max{a44，c44}＝a44，d45＝c45，有d44＜d45．

所以dn的最小值為．

（ III）由（II）可知，當k＝2時，dn的最小值為．

當k＝1時，dn＝max{an，bn，cn}＝max{bn，cn}＝max{，}．

因為數(shù)列{bn}為單調(diào)遞減數(shù)列，數(shù)列{cn}為單調(diào)遞增數(shù)列，

所以當時，dn取得最小值，此時n．

又因為7273，

而d72＝b72，d72＝c72，．

此時dn的最小值為，．

（2）k≥3時，，an＞bn，

所以dn＝max{an，bn，cn}＝max{an，cn}≥max{，}．

設hn＝max{，}，

因為數(shù)列{an}為單調(diào)遞減數(shù)列，數(shù)列{}為單調(diào)遞增數(shù)列，

所以當時，hn取得最小值，此時n．

又因為3637，

而h36＝a36，h37，．

此時dn的最小值為，．．

綜上，dn的最小值為d44．