Question

2．曲線y=$\frac{1}{e^x}$（e為自然對數(shù)的底數(shù)）在點(diǎn)M（1，$\frac{1}{e}}$）處的切線l與x軸和y軸所圍成的三角形的面積為（　�。�

• A． $\frac{1}{e}$
• B． $\frac{2}{e}$
• C． e
• D． 2e

Answer 1

分析 根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求得在點(diǎn)M（1，e^-1）處的切線的斜率，再由點(diǎn)斜式即可得切線方程，分別求出切線與x軸、y軸的交點(diǎn)A、B，利用直角三角形的面積公式即可求得．

解答 解：f（x）=e^-x，∴f（1）=e^-1，f'（x）=-e^-x，f'（1）=-e^-1，
函數(shù)f（x）在點(diǎn)M（1，e^-1）處的切線方程為y-e^-1=-e^-1（x-1），即y=-e^-1x+2e^-1，
設(shè)切線與x軸、y軸的交點(diǎn)分別為A、B，
∴A（2，0），B（0，2e^-1），
∴三角形的面積為$\frac{1}{2}×2$×2e^-1=$\frac{2}{e}$，
故選：B．

點(diǎn)評 本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，考查三角形面積的計(jì)算，屬于中檔題．