Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)為F，離心率為

2

2

，長軸長小于4

2

，點(diǎn)A在直線x=2上，且FA的最小值為1．
（1）求橢圓C的方程；
（2）點(diǎn)P（x₀，y₀）是橢圓C上第一象限內(nèi)的點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，直線OP與橢圓C的另一交點(diǎn)為Q，點(diǎn)T在C上，且PT⊥PQ；
①若PT的斜率為k，QT的斜率為k₁，問kk₁是否為定值，若為定值，求出kk₁；若不是定值，說明理由．
②若QT交x軸于M，求△PQM的面積的最大值，并寫出此時(shí)T點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：計(jì)算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設(shè)出右焦點(diǎn)，運(yùn)用離心率公式，得到b=c，由點(diǎn)到直線的距離公式，得到方程，解得即可得到c，再由a，b，c的關(guān)系，即可得到a，b，進(jìn)而得到橢圓方程；
（2）①運(yùn)用斜率公式和點(diǎn)差法，即可得到定值；
②運(yùn)用直線方程，求出M，再由面積公式，即可得到△PQM的面積，再由橢圓的參數(shù)方程，結(jié)合二倍角公式，即可得到最大值，進(jìn)而得到點(diǎn)P的坐標(biāo)，再由PT的方程，聯(lián)立橢圓方程，即可解得交點(diǎn)T．

解答： 解：（1）設(shè)右焦點(diǎn)為F（c，0），
由于離心率為

2

2

，則b=c，a=

2

c，由于長軸長小于4

2

，即a＜2

2

．
由于點(diǎn)A在直線x=2上，且FA的最小值為1，則|c-2|=1，解得，c=3或1．
由于c＜2，則c=1，a=

2

，b=1，
則橢圓方程為：

x2

2

+y2=1；
（2）①點(diǎn)P（x₀，y₀）是橢圓C上第一象限內(nèi)的點(diǎn)，則x₀²+2y₀²=2，
直線OP與橢圓C的另一交點(diǎn)為Q，則為Q（-x₀，-y₀），
設(shè)T（x₁，y₁），則k=

y1-y0

x1-x0

，k₁=

y1+y0

x1+x0

，則kk₁=

y12-y02

x12-x02

由于x₀²+2y₀²=2，x₁²+2y₁²=2，兩式相減可得，
（x₁²-x₀²）+2（y₁²-y₀²）=0，則有kk₁=-

1

2

，則kk₁為定值，且為-

1

2

；
②直線OP的方程為：y=-

1

k

x，k=-

x0

y0

，
直線QT：y+y₀=-

1

2k

（x+x₀），令y=0，則x=-2ky₀-x₀=x₀，即M（x₀，0），
則△PQM的面積為△POM和△QOM的面積之和，即為S=

1

2

x₀（y₀+y₀）=x₀y₀，
由橢圓方程的參數(shù)式，x₀=

2

cosα，y₀=sinα，
則有S=

2

sinαcosα=

2

2

sin2α≤

2

2

，
當(dāng)sin2α=1，即有α=

π

4

，x₀=1，y₀=

2

2

，即P（1，

2

2

），
由PT：y-

2

2

=-

2

（x-1），
聯(lián)立橢圓方程：

x2

2

+y2=1，解得T（

7

5

，

2

10

）
此時(shí)△PQM的面積的最大值為

2

2

．

點(diǎn)評：本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，考查直線的斜率公式及運(yùn)用，考查聯(lián)立直線方程和橢圓方程求交點(diǎn)，運(yùn)用點(diǎn)差法求斜率之積，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．