Question

19．已知x，y∈R⁺，設(shè)T=$\frac{x+y}{{x}^{2}+{y}^{2}+4}$，則T的最大值為$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

Answer 1

分析 由題意和基本不等式可得T≤$\frac{\sqrt{2（{x}^{2}+{y}^{2}）}}{（\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}）^{2}+4}$=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}+\frac{4}{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}}$≤$\frac{\sqrt{2}}{4}$，驗(yàn)證等號(hào)成立即可．

解答 解：∵x，y∈R⁺，∴T=$\frac{x+y}{{x}^{2}+{y}^{2}+4}$≤$\frac{\sqrt{2（{x}^{2}+{y}^{2}）}}{（\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}）^{2}+4}$
=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}+\frac{4}{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}}$≤$\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{4}}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
當(dāng)且僅當(dāng)x=y=$\sqrt{2}$時(shí)取等號(hào)．
故答案為：$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查基本不等式求最值，整體法是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬中檔題．