Question

10．將正方形ABCD沿對角線BD折成直二面角A-BC-C，有如下四個結(jié)論：
①AC⊥BD；②△ABC是等邊三角形；
③AB與CD所成的角90°；④二面角A-BC-D的平面角正切值是$\sqrt{2}$；
其中正確結(jié)論是①②④．（寫出所有正確結(jié)論的序號）

Answer 1

分析 假設(shè)正方形邊長為1，作出直觀圖，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)進行判斷．

解答 解：取BD中點E，連結(jié)AE，CE，則AE⊥BD，CE⊥BD，∴BD⊥平面ACE，∴AC⊥BD．故①正確．
設(shè)折疊前正方形的邊長為1，則BD=$\sqrt{2}$，∴AE=CE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∵平面ABD⊥平面BCD，∴AE⊥平面BCD，∴AE⊥CE，∴AC=$\sqrt{A{E}^{2}+C{E}^{2}}$=1．
∴△ABC是等邊三角形，故②正確．
取BC中點F，AC中點G，連結(jié)EF，F(xiàn)G，EG，則EF∥CD，F(xiàn)G∥AB，
∴∠EFG為異面直線AB，CD所成的角，在△EFG中，EF=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}$，F(xiàn)G=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$，EG=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$，
∴△EFG是等邊三角形，∴∠EFG=60°，故③錯誤．
∵AF⊥BC，BC⊥CD，EF∥CD，∴∠AFE為二面角A-BC-D的平面角．
∵AE⊥EF，∴tan∠AFE=$\frac{AE}{EF}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}}$=$\sqrt{2}$．故④正確．
故答案為：①②④．

點評 本題考查了空間線面的位置關(guān)系和空間角的求法，屬于中檔題．