Question

20．某種產(chǎn)品的成本f₁（x）（萬元）與年產(chǎn)量x（噸）之間的函數(shù)關系是f₁（x）=$\frac{1}{100}$x²，該產(chǎn)品的銷售單價f₂（x）可以表示為關于年銷量的一次函數(shù)，其部分圖象如圖所示，且生產(chǎn)的產(chǎn)品都能在當年銷售完．
（1）求f₂（x）的解析式及定義域；
（2）當年產(chǎn)量為多少噸時，所獲利潤s（萬元）最大（注：利潤=收入-成本）；并求出s的最大值．

Answer 1

分析 （1）由題意可設：f₂（x）=kx+b（k≠0），由于圖象經(jīng)過點（0，3），（100，2）．代入解出即可得出．令f₂（x）＞0，解得函數(shù)的定義域．
（2）設年產(chǎn)量為x噸，s=x•f₂（x）-f₁（x）=-$\frac{1}{50}$（x-75）²+$\frac{225}{2}$，利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：（1）由題意可設：f₂（x）=kx+b（k≠0），由于圖象經(jīng)過點（0，3），（100，2）．
∴$\left\{\begin{array}{l}{3=b}\\{2=100k+b}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{100}}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴f₂（x）=$-\frac{1}{100}x$+3，令f₂（x）=$-\frac{1}{100}x$+3＞0，解得0＜x＜300，其定義域為（0，300）．
（2）設年產(chǎn)量為x噸，s=x•f₂（x）-f₁（x）=$x（-\frac{1}{100}x+3）$-$\frac{1}{100}$x²=$-\frac{1}{50}{x}^{2}$+3x=-$\frac{1}{50}$（x-75）²+$\frac{225}{2}$，
∴當x=75時，s取得最大值$\frac{225}{2}$（萬元）．

點評 本題考查了一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖象與性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．