Question

18．已知0＜α＜$\frac{π}{2}$，cos（2π-α）-sin（π-α）=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
（1）求sinα+cosα的值
（2）求$\frac{2sinαcosα-sin（\frac{π}{2}+α）+1}{1-cot（\frac{3π}{2}-α）}$的值．

Answer 1

分析 由條件利用誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系進行化簡求得所給式子的值．

解答 解：（1）∵已知0＜α＜$\frac{π}{2}$，cos（2π-α）-sin（π-α）=cosα-sinα=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
平方可得1-2sinαcosα=$\frac{1}{5}$，∴2sinαcosα=$\frac{4}{5}$，
∴（sinα+cosα）²=1+2sinαcosα=$\frac{9}{5}$，∴sinα+cosα=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$．
（2）∵cosα-sinα=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$，sinα+cosα=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
∴sinα=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，cosα=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，tanα=$\frac{sinα}{cosα}$=2．
∴$\frac{2sinαcosα-sin（\frac{π}{2}+α）+1}{1-cot（\frac{3π}{2}-α）}$=$\frac{2sinαcosα-cosα+1}{1-tanα}$=$\frac{2•\frac{2\sqrt{5}}{5}•\frac{\sqrt{5}}{5}-\frac{\sqrt{5}}{5}+1}{1-2}$=$\frac{\sqrt{5}-9}{5}$．

點評 本題主要考查利用誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系進行化簡求值，屬于基礎(chǔ)題．